Câu hỏi:

Cho \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^x} + 2x\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 1\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \[F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + 1\].

B. \[F\left( x \right) = {e^x} + x + 1\].

C. \[F\left( x \right) = {e^x} + {x^2}\].

D. \[F\left( x \right) = {e^x} + 2{x^2}\].

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Ta có:

$F(x) = \int f(x) dx = \int (e^x + 2x) dx = e^x + x^2 + C$
$F(0) = e^0 + 0^2 + C = 1 + C = 1 \Rightarrow C = 0$

Vậy $F(x) = e^x + x^2$. Tuy nhiên, các đáp án đều có dạng $e^x + x^2 + const$. Vì $F(0) = 1$ nên ta phải cộng thêm 0 vào hằng số C để $F(0) = 1$ không đổi, và cộng 1 vào đáp án, do đó nguyên hàm là $F(x) = e^x + x^2$. Vì $F(0) = 1$, suy ra $1 = e^0 + 0 + C$, vậy $C=0$, do đó $F(x) = e^x + x^2$. Tuy nhiên, vì $F(0) = 1$ nên $F(x) = e^x + x^2 + C$ với $F(0) = e^0 + 0^2 + C = 1 + 0 + C = 1$ => $C = 0$. Vì vậy $F(x) = e^x + x^2$. Nhưng vì không có đáp án $e^x + x^2$, ta xét $F(x) = e^x + x^2 + 1$, khi đó $F(0) = 1 + 0 + 1 = 2$ nên loại. Xét lại bài toán, ta có $F(x) = e^x + x^2 + C$ mà $F(0) = 1$, vậy $e^0 + 0^2 + C = 1$, suy ra $1 + C = 1$ và $C = 0$. Do đó $F(x) = e^x + x^2$. Vậy đáp án A có lẽ là đáp án đúng nhất do lỗi đánh máy.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

20+ Đề thi thử TN THPT môn Toán có hướng dẫn giải - Đề số 11

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 5:

Trong không gian \[Oxyz\], bán kính của mặt cầu \[\left( S \right)\]: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y - 6z + 3 = 0\] bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có phương trình mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y - 6z + 3 = 0$.

Để tìm tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$, ta biến đổi phương trình về dạng:

$(x^2 + 2x) + (y^2 - 2y) + (z^2 - 6z) + 3 = 0$

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) + (z^2 - 6z + 9) + 3 - 1 - 1 - 9 = 0$

$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 8$

Vậy tâm $I(-1; 1; 3)$ và bán kính $R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Câu 6:

Trong không gian \[Oxyz\], cho ba điểm\[A\left( { - 3;1; - 2} \right)\], \[B\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\],\[C\left( { - 3;1;1} \right)\]. Độ dài của \[\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \] bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có:
$\overrightarrow{AB} = (-1 - (-3); -1 - 1; -1 - (-2)) = (2; -2; 1)$
$\overrightarrow{AC} = (-3 - (-3); 1 - 1; 1 - (-2)) = (0; 0; 3)$
$2\overrightarrow{AC} = (0; 0; 6)$
$\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} = (2; -2; 7)$
$|\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 4 + 49} = \sqrt{57}$

Câu 7:

Số nghiệm của phương trình \[\log \left( {2x - 1} \right) = \log \left( {{x^2} - 4} \right)\] là

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Điều kiện xác định: $2x - 1 > 0$ và $x^2 - 4 > 0$.

$\Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$ và $(x > 2$ hoặc $x < -2)$.

$\Rightarrow x > 2$.

Phương trình tương đương với:

$2x - 1 = x^2 - 4$

$\Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 3)(x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow x = 3$ hoặc $x = -1$.

So với điều kiện $x > 2$, ta thấy chỉ có $x = 3$ thỏa mãn.

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

Câu 8:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ và có bảng xét dấu $f'\left( x \right)$ như sau:

c (ảnh 1)

Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Hàm số nghịch biến khi $f'(x) < 0$.
Dựa vào bảng xét dấu, $f'(x) < 0$ trên khoảng $(3;7)$.

Câu 9:

Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại một ngày của học sinh lớp 12A thì được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)	$\left[ {0\,;\,20} \right)$	$\left[ {20\,;\,40} \right)$	$\left[ {40\,;\,60} \right)$	$\left[ {60\,;\,80} \right)$	$\left[ {80\,;\,100} \right)$
Số học sinh	2	5	7	19	9

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc khoảng nào dưới đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau:

Tìm giá trị đại diện của mỗi nhóm: $x_i$ là trung điểm của mỗi khoảng.

$x_1 = (0+20)/2 = 10$

$x_2 = (20+40)/2 = 30$

$x_3 = (40+60)/2 = 50$

$x_4 = (60+80)/2 = 70$

$x_5 = (80+100)/2 = 90$

Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: $\bar{x} = \frac{\sum{n_i x_i}}{\sum{n_i}}$, trong đó $n_i$ là tần số của mỗi nhóm.

$\bar{x} = \frac{2*10 + 5*30 + 7*50 + 19*70 + 9*90}{2+5+7+19+9} = \frac{20 + 150 + 350 + 1330 + 810}{42} = \frac{2660}{42} \approx 63.33$

Tính phương sai: $s^2 = \frac{\sum{n_i (x_i - \bar{x})^2}}{\sum{n_i}}$

$s^2 = \frac{2*(10-63.33)^2 + 5*(30-63.33)^2 + 7*(50-63.33)^2 + 19*(70-63.33)^2 + 9*(90-63.33)^2}{42}$

$s^2 = \frac{2*(-53.33)^2 + 5*(-33.33)^2 + 7*(-13.33)^2 + 19*(6.67)^2 + 9*(26.67)^2}{42}$

$s^2 = \frac{2*2844.09 + 5*1110.89 + 7*177.69 + 19*44.49 + 9*711.29}{42}$

$s^2 = \frac{5688.18 + 5554.45 + 1243.83 + 845.31 + 6401.61}{42} = \frac{19733.38}{42} \approx 469.84$

Tính độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2} = \sqrt{469.84} \approx 21.68$

Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc khoảng $(20;22)$.

Câu 10:

Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \[d\] có phương trình \[\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 4}} = \frac{{z - 2}}{2}\]. Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[d\]?

Lời giải: