Câu hỏi:

Ta có bất phương trình $6x^2 + x - 1 \le 0$. Ta tìm nghiệm của phương trình $6x^2 + x - 1 = 0$. $6x^2 + 3x - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow 3x(2x + 1) - (2x + 1) = 0 \Leftrightarrow (3x - 1)(2x + 1) = 0$. Vậy $x = \frac{1}{3}$ hoặc $x = -\frac{1}{2}$. Xét dấu tam thức bậc hai $f(x) = 6x^2 + x - 1$. Vì $a = 6 > 0$ nên $f(x) \le 0$ khi $x$ nằm giữa hai nghiệm, tức là $x \in \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{3}\right]$.

Để giải bất phương trình $x^2 + x - 12 < 0$, ta thực hiện các bước sau:
* Tìm nghiệm của phương trình $x^2 + x - 12 = 0$.
* Ta có $\Delta = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49$. Vậy $\sqrt{\Delta} = 7$.
* Nghiệm của phương trình là $x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3$ và $x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4$.
* Vì hệ số $a = 1 > 0$, parabol hướng lên trên. Do đó, $x^2 + x - 12 < 0$ khi $x$ nằm giữa hai nghiệm.
* Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là $S = (-4; 3)$.

Điều kiện: $2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}$.
Phương trình tương đương:
$(\sqrt{2x-3})^2 = (x-3)^2$
$2x - 3 = x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 8x + 12 = 0$
$\Delta' = (-4)^2 - 12 = 16 - 12 = 4 > 0$
x1 = 4 + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6 (thỏa mãn)
x2 = 4 - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2 (thỏa mãn)
Vậy $S = \{2; 6\}$.
Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại nghiệm vì đây là phương trình chứa căn thức.
Với $x=2$ thì $\sqrt{2(2)-3} = \sqrt{1} = 1$ và $2-3 = -1$. Do đó $x=2$ không là nghiệm.
Với $x=6$ thì $\sqrt{2(6)-3} = \sqrt{9} = 3$ và $6-3 = 3$. Do đó $x=6$ là nghiệm.
Vậy tập nghiệm là $S = \{6\}$.

Đặt $t = \sqrt{2-x}$, với $t \ge 0$. Khi đó phương trình trở thành:
$t + \frac{4}{t+3} = 2$
$\Leftrightarrow t(t+3) + 4 = 2(t+3)$
$\Leftrightarrow t^2 + 3t + 4 = 2t + 6$
$\Leftrightarrow t^2 + t - 2 = 0$
$\Leftrightarrow (t-1)(t+2) = 0$
Vì $t \ge 0$ nên $t = 1$.
$\Rightarrow \sqrt{2-x} = 1$
$\Leftrightarrow 2-x = 1$
$\Leftrightarrow x = 1$
Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là $x=1$.