Câu hỏi:

Gọi \(x,\,y\) lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà mỗi đội cần pha chế \(\left( x\ge 0;\,y\ge 0 \right)\).

Để pha chế \(x\) lít nước cam cần \(30x\) g đường, \(x\) lít nước và \(x\) g hương liệu.

Để pha chế \(y\) lít nước táo cần \(10y\) g đường, \(y\) lít nước và \(4y\) g hương liệu.

Theo bài ra ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{matrix}\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 30x+10y\le 210 \\ x+y\le 9 \\ \end{matrix} \\ x+4y\le 24 \\ \end{matrix} \\ x\ge 0 \\ \end{matrix} \\ y\ge 0 \\ \end{matrix} \right.\) (*)

Số điểm đạt được khi pha \(x\) lít nước cam và \(y\) lít nước táo là

\(M\left( x;y \right)=60x+80y\).

Bài toán trở thành tìm \(x,y\) để \(M\left( x;y \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ (*) trên mặt phẳng tọa độ như sau:

Miền nghiệm là ngũ giác \(ABCDE\) với tọa độ các điểm: \(A\left( 4;5 \right)\), \(B\left( 6;3 \right)\), \(C\left( 7;0 \right)\), \(D\left( 0;0 \right)\), \(E\left( 0;6 \right)\).

\(M\left( x;y \right)\) sẽ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của miền nghiệm nên thay tọa độ các điểm vào biểu thức \(M\left( x;y \right)\) ta được:

\(M\left( 4;5 \right)=640\); \(M\left( 6;3 \right)=600\), \(M\left( 7;0 \right)=420\),

\(M\left( 0;0 \right)=0\), \(M\left( 0;6 \right)=480\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(M\left( x;y \right)\) bằng \(640\) khi \(x=4;\,y=5\) suy ra \(a=4;\,b=5\).

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} x\ge 1 \\ x\le 2 \\ \end{matrix} \\ y\ge 0 \\ \end{matrix} \\ y\le 3 \\ \end{matrix} \right.\) như sau:

Từ hình vẽ nhận thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(ABCD\) kể cả biên (phần không tô màu) với \(A\left( 1;3 \right);\,B\left( 2;3 \right);\,C\left( 2;0 \right);\,D\left( 1;0 \right)\).

Người ta chứng minh được: biểu thức \(F\left( x;y \right)=-x+4y\) đạt giá trị nhỏ nhất tại các cặp số \(\left( x;y \right)\) là tọa độ một trong các đỉnh của tứ giác \(ABCD\).

Tính giá trị của biểu thức \(F\left( x;y \right)=-x+4y\) tại các cặp số \(\left( x;y \right)\) là tọa độ một trong các đỉnh của tứ giác \(ABCD\) rồi so sánh các giá trị đó ta được giá trị nhỏ nhất bằng \(-2\) khi \(x=2;\,y=0\).

Ta có : 2-3 < 0.

Do đó, cặp số (2; 3) là nghiệm của bất phương trình \(\mathrm{x}-\mathrm{y}<0\).

\(A\cap B\) là tập hợp các học sinh lớp 10 học môn Tiếng Anh ở trường X.

\(A\backslash B\) là tập hợp những học sinh lớp 10 nhưng không học Tiếng Anh ở trường X.

\(A\cup B\) là tập hợp các học sinh lớp 10 hoặc học sinh học môn Tiếng Anh ở trường X.

\(B\backslash A\) là tập hợp các học sinh học môn Tiếng Anh nhưng không học lớp 10 ở trường X.