Câu hỏi:

a) Trong tam giác DHF có FA là phân giác trong của \(\widehat{EFD} \Rightarrow \frac{A D}{A H}=\frac{F D}{F H}\)

Mà \(\mathrm{AF} \perp \mathrm{BC} \Rightarrow\) FB là phân giác ngoài của \(\triangle \mathrm{DFH}\) cắt DH tại B \(\Rightarrow \frac{B H}{B D}=\frac{F H}{F D}\).

\(\Rightarrow \frac{B H}{B D}=\frac{A H}{A D} \Rightarrow \mathrm{BH} . \mathrm{AD}=\mathrm{AH} . \mathrm{BD}\) 

b) Có \(\widehat{\mathrm{AFB}}=90^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn O)

\(\widehat{\mathrm{AFC}}=  90^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn O')

\(\Rightarrow \widehat{\mathrm{BFC}}=\widehat{\mathrm{AFB}}+\widehat{\mathrm{AFC}}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}.\)

Vậy ba điểm \(\mathrm{B}, \mathrm{F}, \mathrm{C}\) thẳng hàng.

c) Có \(\widehat{\mathrm{AFE}}=\widehat{\mathrm{ABE}}\) (1) (hai góc nội tiếp cùng chắn \(\overparen{\mathrm{AE}}\) của \((\mathrm{O})\))

\(\widehat{\mathrm{AFD}}=\widehat{\mathrm{ACD}}\) (2) (hai góc nội tiếp cùng chắn \(\overparen{\mathrm{AD}}\) của (\(\mathrm{O}^{\prime}\)))

\(\widehat{\mathrm{ABE}}=\widehat{\mathrm{ACD}}\) (3) (hai góc nội tiếp cùng chắn \(\overparen{\mathrm{ED}}\) của đường tròn đường kính BC)

Từ (1), (2) và (3) \(=\widehat{\mathrm{AFE}}=\widehat{\mathrm{AFD}}\). Vậy FA là phân giác của \(\widehat{\mathrm{EFD}} \Rightarrow \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AH}}=\frac{\mathrm{FD}}{\mathrm{FH}}\).

d) Có \(\widehat{\mathrm{BEC}}=90^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn O)

\(\widehat{\mathrm{BDC}}=90^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn O')

=> Tứ giác BCDE nội tiếp được đường tròn đường kính BC.

Vậy bốn điểm \(\mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}\) cùng nằm trên một đường tròn.

a) Với \(x<0\) nên \(A=-5 x-7 x=-12 x\). Để \(A=24\) thì \(-12 x=24 \Rightarrow x=-2\).

b) \(A=\sqrt{25 {x}^2}-7 x=5|{x}|-7 {x}\). 

c) Vì \(x \geq 0\) nên \(A=5 x-7 x=-2 x\).

d) Thay \(x=-3\) vào biểu thức \(A=5|x|-7 x=5.3-7 .(-3)=36\).

+ ĐKXĐ: \({x} \neq 0\) và \(\mathrm{x} \neq 2\)

+ Ta có: \(2(x+2)(x-2)=(2 x+3) x\)

\(\Leftrightarrow 2\left(x^2-4\right)=2 x^2+3 x\)

\(\Leftrightarrow  2 x^2-8=2 x^2+3 x \)

\(\Leftrightarrow 3 x=-8 \)

\(\Leftrightarrow x=\frac{-8}{3}\) (Thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình có 1 nghiệm \(x=\frac{-8}{3}\).

Kẻ đường cao \(A D\).

Xét tam giác \(A C D\) vuông tại \(D\), ta có: \(A D=A C \cdot \sin C=3,5 \cdot \sin 50^{\circ} \approx 2,68 \mathrm{~cm}\)

\(C D=A C \cdot \cos C=3,5 \cdot \cos 50^{\circ} \approx 2,25 \mathrm{~cm}\)

Xét tam giác \(A B D\) có \(B D=A D \cdot \cot B \approx 2,68 \cdot \cot 60^{\circ} \approx 1,55 \mathrm{~cm}\)

Vậy \(B C=B D+C D=3,8 \mathrm{~cm}\)

Diện tích hình quạt tròn cung \(30^{\circ}\) là: \(S=\frac{\pi R^2 \cdot 30}{360}=3 \pi \)

\(\Leftrightarrow R^2=\frac{360 \cdot 3 \pi}{\pi \cdot 30}=36  \Rightarrow R=6 \mathrm{~cm}\)