Câu hỏi:

Gọi x là số tấm thiệp loại nhỏ và y là số tấm thiệp loại lớn mà bạn Hoa vẽ \(\left( {x,\,y \in \mathbb{N}} \right)\).

Từ giả thiết ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 30\\x + y \ge 12\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

Từ đây ta có miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tam giác ABC (kể cả các cạnh).

Trong đó \(A\left( {6;6} \right),\,B\left( {12;0} \right),\,C\left( {15;0} \right)\).

Giá thiệp nhỏ là 10 nghìn đồng/tấm và giá thiệp lớn là 20 nghìn đồng/tấm.

Khi đó tổng số tiền thu được (đơn vị: nghìn đồng) là:

\(F\left( {x,y} \right) = 10x + 20y\).

Biểu thức F(x, y) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các đỉnh của tam giác ABC.

Ta có:

\(F\left( {6;6} \right) = 10.6 + 20.6 = 180\).

\(F\left( {12;0} \right) = 10.12 + 20.0 = 120\).

\(F\left( {15;0} \right) = 10.15 + 20.0 = 150\).

Suy ra \({\rm{max}}F\left( {x;y} \right) = 180\) khi \(x = 6,\,y = 6\).

Vậy Hoa có thể thu được nhiều nhất 180 (nghìn đồng) nếu làm 6 tấm thiệp lớn và 6 tấm thiệp nhỏ.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right) = 2{x^2} + 6x + 5\) là một parabol (P) :

a) Có đỉnh là \(I\left( { - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

- Có trục đối xứng là đường thẳng \(x =  - \frac{3}{2}\).

- Bề lõm quay lên trên vì \(a = 2 > 0\).

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ \(\left( {0;5} \right)\).

- Đồ thị không cắt trục hoành.

b) Đồ thị:

c) và d) Sự biến thiên:

- Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right)\).

- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

\(AB=\sqrt{AC^2+CB^2-2.AC.CB.\cos70^\circ}=\sqrt{15^2+12^2-2.15.12.\cos70^\circ}\approx 15{,}7\,\mathrm{km}\).

Vậy khoảng cách từ trạm bơm A đến khu dân cư B khoảng \(15,7\) km.

Ca nô di chuyển từ đông sang tây, giả sử ca nô đi theo hướng A sang C.

Khi đó vận tốc so với mặt nước của ca nô được biểu thị bởi \(\overrightarrow {{v_1}}  = \overrightarrow {AC} \) và có độ lớn \(\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| = 50\) km/h.

Vận tốc dòng chảy được biểu thị bởi \(\overrightarrow {{v_2}}  = \overrightarrow {AB} \) và có độ lớn \(\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right| = 20\) km/h.

Ta có vận tốc của ca nô so với bờ sông được biểu thị bởi \(\vec v = \overrightarrow {{v_1}}  + \overrightarrow {{v_2}} \).

Ta cần tính độ lớn của vectơ \(\vec v\), hay chính là \(\left| {\overrightarrow {{v_1}}  + \overrightarrow {{v_2}} } \right|\).

Dựng hình bình hành ACDB như hình vẽ.

Do hướng nam bắc vuông góc với hướng đông tây nên AB và AC vuông góc với nhau.

Suy ra ACDB là hình chữ nhật, do đó \(AB = CD = 20,\,AC = BD = 50\).

Xét tam giác vuông ACD có:

\(A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} = {50^2} + {20^2} = 2900\).

\( \Rightarrow AD = \sqrt {2900}  = 10\sqrt {29} \).

Lại có ACDB là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {{v_1}}  + \overrightarrow {{v_2}} \).

Do đó \(\vec v = \overrightarrow {AD}  \Rightarrow \left| {\vec v\left|  =  \right|\overrightarrow {AD} } \right| = AD = 10\sqrt {29} \).

Vậy vận tốc của ca nô so với bờ sông là \(10\sqrt {29}  \approx 53,9\) km/h.

\(\vec a\) và \(\vec b\) ngược hướng thì \(\left( {\vec a,\,\vec b} \right) = {180^ \circ }\).