Câu hỏi:

\({\rm{cos}}{30^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow {F_2} = 50{\rm{cos}}{30^ \circ } = 50.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 25\sqrt 3 \).

Công sinh bởi \(\overrightarrow {{F_2}} \) khi vật chuyển động một quãng đường \(s = 250\) m là:

\(A = {F_2}.s = 25\sqrt 3 .250 = \left( {25.250} \right)\sqrt 3  = 6\,250\sqrt 3 \).

Từ đây ta có \(a = 6\,250,\,b = 3\).

Vậy \(a + b = 6\,250 + 3 = 6\,253\).

Gọi x là số lần tăng giá \(\left( {x \ge 0} \right)\). Khi đó:

+ Giá bán mỗi chiếc là \(34\,000 + 1\,000x\) (đồng).

+ Số lượng bán mỗi tháng là \(3\,000 - 100x\) (chiếc).

+ Lợi nhuận trên mỗi chiếc là

\(34\,000 + 1\,000x - 20\,000 = 14\,000 + 1\,000x\) (đồng).

Tổng lợi nhuận thu được là:

\(14\,000 + 1\,000x)\left( {3\,000 - 100x} \right) \Leftrightarrow 42\,000\,000 + 1\,600\,000x - 100\,000{x^2}\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 42\,000\,000 + 1\,600\,000x - 100\,000{x^2}\).

Hàm số f(x) là một parabol có hệ số \(a =  - 100\,000 < 0\) nên có bề lõm quay xuống.

Khi đó f(x) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{{1\,600\,000}}{{2.100\,000}} = 8\).

Suy ra,

\({\rm{max}}f\left( x \right) = f\left( 8 \right) = 42\,000\,000 + 1\,600\,000.8 - 100\,{000.8^2} = 48\,400\,000\) (đồng).

Vậy lợi nhuận lớn nhất bằng \(48\,400\,000\) đồng hay \(48,4\) triệu đồng.

Gọi x là số tấm thiệp loại nhỏ và y là số tấm thiệp loại lớn mà bạn Hoa vẽ \(\left( {x,\,y \in \mathbb{N}} \right)\).

Từ giả thiết ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 30\\x + y \ge 12\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

Từ đây ta có miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tam giác ABC (kể cả các cạnh).

Trong đó \(A\left( {6;6} \right),\,B\left( {12;0} \right),\,C\left( {15;0} \right)\).

Giá thiệp nhỏ là 10 nghìn đồng/tấm và giá thiệp lớn là 20 nghìn đồng/tấm.

Khi đó tổng số tiền thu được (đơn vị: nghìn đồng) là:

\(F\left( {x,y} \right) = 10x + 20y\).

Biểu thức F(x, y) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các đỉnh của tam giác ABC.

Ta có:

\(F\left( {6;6} \right) = 10.6 + 20.6 = 180\).

\(F\left( {12;0} \right) = 10.12 + 20.0 = 120\).

\(F\left( {15;0} \right) = 10.15 + 20.0 = 150\).

Suy ra \({\rm{max}}F\left( {x;y} \right) = 180\) khi \(x = 6,\,y = 6\).

Vậy Hoa có thể thu được nhiều nhất 180 (nghìn đồng) nếu làm 6 tấm thiệp lớn và 6 tấm thiệp nhỏ.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right) = 2{x^2} + 6x + 5\) là một parabol (P) :

a) Có đỉnh là \(I\left( { - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

- Có trục đối xứng là đường thẳng \(x =  - \frac{3}{2}\).

- Bề lõm quay lên trên vì \(a = 2 > 0\).

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ \(\left( {0;5} \right)\).

- Đồ thị không cắt trục hoành.

b) Đồ thị:

c) và d) Sự biến thiên:

- Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right)\).

- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

\(AB=\sqrt{AC^2+CB^2-2.AC.CB.\cos70^\circ}=\sqrt{15^2+12^2-2.15.12.\cos70^\circ}\approx 15{,}7\,\mathrm{km}\).

Vậy khoảng cách từ trạm bơm A đến khu dân cư B khoảng \(15,7\) km.