Câu hỏi:

Mô hình hóa bài toán bởi hình vẽ sau.

a) Đúng.

Ta có \(\widehat {BCD} = {180^ \circ } - \widehat {BCE} = {180^ \circ } - {52^ \circ } = {128^ \circ }\).

Suy ra \(\widehat {CBD} = {180^ \circ } - \widehat {BCD} - \widehat {BDC} = {29^ \circ }\).

b) Sai.

Áp dụng định lí sin cho tam giác BCD ta có:

\(\frac{{BC}}{{{\rm{sin}}\widehat {BDC}}} = \frac{{CD}}{{{\rm{sin}}\widehat {CBD}}}\)

\( \Rightarrow BC = \frac{{CD}}{{{\rm{sin}}\widehat {CBD}}}.{\rm{sin}}\widehat {BDC} = \frac{{200}}{{{\rm{sin}}{{29}^ \circ }}}.{\rm{sin}}{23^ \circ } \approx 161\) (m).

c) Sai.

Tam giác BCE vuông tại E, có \(\widehat {EBC} = {90^ \circ } - \widehat {BCE} = {38^ \circ }\).

Suy ra \(\widehat {ABC} = {180^ \circ } - \widehat {EBC} = {142^ \circ }\).

Ta có \(\widehat {ACB} = \widehat {ACE} - \widehat {BCE} = {67^ \circ } - {52^ \circ } = {15^ \circ }\).

Tam giác ABC có \(\widehat {BAC} = {180^ \circ } - \widehat {ACB} - \widehat {ABC} = {23^ \circ }\).

d) Đúng.

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

\(\frac{{BC}}{{{\rm{sin}}\widehat {BAC}}} = \frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {ACB}}}\)

\( \Rightarrow AB = \frac{{BC}}{{{\rm{sin}}\widehat {BAC}}}.{\rm{sin}}\widehat {ACB} \approx 107\) m.

Vậy chiều cao của bức tượng gần bằng 107 m.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta có:

16; 22; 29; 30; 31; 31; 32; 32; 32; 36; 41; 47.

Cỡ mẫu \(n = 12\).

• Trung vị của mẫu số liệu là: \({M_e} = {Q_2} = \frac{{31 + 32}}{2} = 31,5\).

• Xét dãy số liệu: 16; 22; 29; 30; 31; 31.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy số liệu trên, do đó:

\({Q_1} = \frac{{29 + 30}}{2} = 29,5\).

• Xét dãy số liệu: 32; 32; 32; 36; 41; 47.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy số liệu trên, do đó:

\({Q_3} = \frac{{32 + 36}}{2} = 34\).

• Khoảng tứ phân vị là: \({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 34 - 29,5 = 4,5\).

• Xác định giá trị ngoại lệ.

Ta có cận dưới: \({Q_1} - 1,5{{\rm{\Delta }}_Q} = 29,5 - 1,5.4,5 = 29,5 - 6,75 = 22,75\).

Cận trên: \({Q_3} + 1,5.{{\rm{\Delta }}_Q} = 34 + 6,75 = 40,75\).

Ta thấy giá trị nhỏ hơn \(22,75\) hoặc lớn hơn \(40,75\) là ngoại lệ.

Các giá trị nhỏ hơn \(22,75\) gồm 16 và 22.

Các giá trị lớn hơn \(40,75\) gồm 41 và 47.

Vậy có 4 giá trị ngoại lệ là 16; 22; 41; 47.

\({\rm{cos}}{30^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow {F_2} = 50{\rm{cos}}{30^ \circ } = 50.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 25\sqrt 3 \).

Công sinh bởi \(\overrightarrow {{F_2}} \) khi vật chuyển động một quãng đường \(s = 250\) m là:

\(A = {F_2}.s = 25\sqrt 3 .250 = \left( {25.250} \right)\sqrt 3  = 6\,250\sqrt 3 \).

Từ đây ta có \(a = 6\,250,\,b = 3\).

Vậy \(a + b = 6\,250 + 3 = 6\,253\).

Gọi x là số lần tăng giá \(\left( {x \ge 0} \right)\). Khi đó:

+ Giá bán mỗi chiếc là \(34\,000 + 1\,000x\) (đồng).

+ Số lượng bán mỗi tháng là \(3\,000 - 100x\) (chiếc).

+ Lợi nhuận trên mỗi chiếc là

\(34\,000 + 1\,000x - 20\,000 = 14\,000 + 1\,000x\) (đồng).

Tổng lợi nhuận thu được là:

\(14\,000 + 1\,000x)\left( {3\,000 - 100x} \right) \Leftrightarrow 42\,000\,000 + 1\,600\,000x - 100\,000{x^2}\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 42\,000\,000 + 1\,600\,000x - 100\,000{x^2}\).

Hàm số f(x) là một parabol có hệ số \(a =  - 100\,000 < 0\) nên có bề lõm quay xuống.

Khi đó f(x) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{{1\,600\,000}}{{2.100\,000}} = 8\).

Suy ra,

\({\rm{max}}f\left( x \right) = f\left( 8 \right) = 42\,000\,000 + 1\,600\,000.8 - 100\,{000.8^2} = 48\,400\,000\) (đồng).

Vậy lợi nhuận lớn nhất bằng \(48\,400\,000\) đồng hay \(48,4\) triệu đồng.

Gọi x là số tấm thiệp loại nhỏ và y là số tấm thiệp loại lớn mà bạn Hoa vẽ \(\left( {x,\,y \in \mathbb{N}} \right)\).

Từ giả thiết ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 30\\x + y \ge 12\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

Từ đây ta có miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tam giác ABC (kể cả các cạnh).

Trong đó \(A\left( {6;6} \right),\,B\left( {12;0} \right),\,C\left( {15;0} \right)\).

Giá thiệp nhỏ là 10 nghìn đồng/tấm và giá thiệp lớn là 20 nghìn đồng/tấm.

Khi đó tổng số tiền thu được (đơn vị: nghìn đồng) là:

\(F\left( {x,y} \right) = 10x + 20y\).

Biểu thức F(x, y) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các đỉnh của tam giác ABC.

Ta có:

\(F\left( {6;6} \right) = 10.6 + 20.6 = 180\).

\(F\left( {12;0} \right) = 10.12 + 20.0 = 120\).

\(F\left( {15;0} \right) = 10.15 + 20.0 = 150\).

Suy ra \({\rm{max}}F\left( {x;y} \right) = 180\) khi \(x = 6,\,y = 6\).

Vậy Hoa có thể thu được nhiều nhất 180 (nghìn đồng) nếu làm 6 tấm thiệp lớn và 6 tấm thiệp nhỏ.