Câu hỏi:

Gọi \(x,\,y\) lần lượt là số kg sản phẩm loại I và loại II mà xưởng sản xuất đượ

Tổng nguyên liệu được dùng là \(2x+4y\) (kg); tổng thời gian sản xuất là \(30x+15y\) (giờ); \(x,\,y>0\).

Ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{align}  & 2x+4y\le 200 \\  & 30x+15y\le 1200 \\  & x\ge 0 \\  & y\ge 0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x+2y\le 100 \\  & 2x+y\le 80 \\  & x\ge 0 \\  & y\ge 0 \\ \end{align} \right.\)

Vẽ trên cùng hệ trục các đường thẳng \({{d}_{1}}:x+2y=100\), \({{d}_{2}}:2x+y=80\), \({{d}_{3}}:y=0\), \({{d}_{4}}:x=0\)

Ta có điểm \(M\left( 1;1 \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Gạch bỏ các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ (nửa mặt phẳng có bờ là các đường thẳng \({{d}_{1}},\,{{d}_{2}},\,{{d}_{3}},\,{{d}_{4}}\) và không chứa điểm M ).

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình chính là miền của tứ giác OABC (kể cả các cạnh của tứ giác đó) với \(O\left( 0;0 \right)\),  \(A\left( 0;50 \right)\),  \(B\left( 20;40 \right)\),  \(C\left( 40;0 \right)\).

Lãi thu về từ việc sản xuất hai sản phẩm:

\(F\left( x;y \right)=40x+30y\) (nghìn đồng).

Tại \(O\left( 0;0 \right)\), ta có \(F\left( 0;0 \right)=0\);

tại \(A\left( 0;50 \right)\), ta có \(F\left( 0;50 \right)=1\,500\);

tại \(B\left( 20;40 \right)\), ta có \(F\left( 20;40 \right)=2\,000\);

tại \(C\left( 40;0 \right)\), ta có \(F\left( 40;0 \right)=1\,600\).

Vậy lãi suất cao nhất thu được bằng 2 000 000 đồng, khi đó \(x=20,\,y=40\) (tức là xưởng cần sản xuất ra 20 sản phẩm loại I và 40 sản phẩm loại II).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho:

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong tam giác ABC kể cả biên (phần tô màu) với \(A\left( 0;2 \right),\,B\left( \frac{90}{41};\frac{10}{41} \right),\,C\left( 0;\frac{-5}{2} \right)\).

Nhận thấy biểu thức \(F=x+y\) chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A; B hoặc 

+ Tại \(A\left( 0;2 \right)\) thì \(F=2.\)

+ Tại \(B\left( \frac{90}{41};\frac{10}{41} \right)\) thì \(F=\frac{100}{41}.\)

+ Tại \(C\left( 0;\frac{-5}{2} \right)\) thì \(F=\frac{-5}{2}.\)

Vậy \(\text{min}F=\frac{-5}{2}\) khi \(x=0,\) \(y=\frac{-5}{2}.\)

Đặt \(BC=x\) (cm), (\(x>0)\).

Áp dụng định lí côsin ta có: \(A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AB\text{cos}B\).

Suy ra \({{13}^{2}}={{8}^{2}}+{{x}^{2}}-2.8.x.\text{cos}{{60}^{\circ }}\)\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-8x-105=0\).

Giải phương trình trên ta được \(x=15\) hoặc \(x=-7\).

Vì \(x>0\) nên \(x=15\). Suy ra \(BC=15\) (cm).

Áp dụng định lí sin ta có:

\(\frac{AC}{\text{sin}B}=2R\)\(\Rightarrow R=\frac{AC}{2\text{sin}B}\)\(=\frac{13}{2\text{sin}{{60}^{\circ }}}\approx 7,5\) (cm).

\(P\left( 1 \right)=11\ge {{1}^{2}}\) là mệnh đề đúng.

\(P\left( 2 \right)=12\ge {{2}^{2}}\) là mệnh đề đúng.

\(P\left( 3 \right)=13\ge {{3}^{2}}=9\) là mệnh đề đúng.

\(P\left( 4 \right)=14\ge {{4}^{2}}=16\) là mệnh đề sai.

Do tất cả các phần tử \(1;3;5;7\) thuộc tập hợp C cũng thuộc tập hợp A nên \(C\subset A\).