Câu hỏi:

Ta có: \(\text{sin}\alpha =\frac{1}{3}\Rightarrow \text{si}{{\text{n}}^{2}}\alpha =\frac{1}{9}\).

Vì \(\text{si}{{\text{n}}^{2}}\alpha +\text{co}{{\text{s}}^{2}}\alpha =1\) nên \(\text{co}{{\text{s}}^{2}}\alpha =1-\text{si}{{\text{n}}^{2}}\alpha =1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\).

\(A=\frac{1}{9}+3.\frac{8}{9}=\frac{25}{9}\),

\(B=5.\frac{1}{9}-\frac{8}{9}=-\frac{1}{3}\),

\(C=\sqrt{\frac{1}{9}+3.\frac{8}{9}}+\sqrt{\frac{8}{9}-7.\frac{1}{9}}=\frac{5}{3}+\frac{1}{3}=2\).

Gọi số học sinh chỉ ủng hộ một tờ 5 000 đồng, một tờ 10 000 đồng, một tờ 20 000 đồng lần lượt là: x, y, z (học sinh).

Số học sinh ủng hộ một tờ 5 000 đồng và một tờ 10 000 đồng là: a.

Số học sinh ủng hộ một tờ 10 000 đồng và một tờ 20 000 đồng là: b.

Số học sinh ủng hộ một tờ 20 000 đồng và một tờ 5 000 đồng là: c.

với \(x,\,y,\,z,\,a,\,b,\,c\in \mathbb{N}\).

Biểu diễn trên biểu đồ Ven (như hình vẽ):

Dựa vào biểu đồ Ven và dữ kiện bài toán, ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{align}  & x=y+z\left( 1 \right) \\  & y+b=2\left( z+b \right)\left( 2 \right) \\  & x=a+c+1\left( 3 \right) \\  & x+y+z+a+b+c=25\left( 4 \right) \\ \end{align} \right.\); với \(x,y,z,a,b,c\in \mathbb{N}\)

Từ (2): \(y-2z=b\ge 0\) ↔︎ \(y\ge 2z\) (*)

Thế (1), (2), (3) vào (4) và khử x,a,b,c, ta được:

\(4y+z=26\Leftrightarrow y=\frac{26-z}{4}\le \frac{26}{4}\).

Từ điều kiện (*):

\(y=\frac{26-z}{4}=\frac{52-2z}{8}\ge \frac{52-y}{8}\)\(\Leftrightarrow 9y\ge 52\)\(\Leftrightarrow y\ge \frac{52}{9}\).

Do đó: \(\frac{52}{9}\le y\le \frac{26}{4}\) và \(y\in \mathbb{N}\).

Suy ra: \(y=6\); \(z=2\); \(x=8\).

Vậy có 6 học sinh lớp 2A chỉ ủng hộ một tờ 10 000 đồng.

Gọi x, y lần lượt là số bông hoa loại 15 000/bông và loại 20 000/bông mà Nga mua.

Điều kiện \(x\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\); \(y\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\).

Theo đề bài ta có bất phương trình \(15x+20y\le 200\).

Mà theo đề, x, y chia hết cho 3 nên giả sử \(x=3n;\,y=3m;\) với \(m,\,n\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\).

Suy ra ta có \(45n+60m\le 200\)\(\Leftrightarrow 9n+12m\le 40\) (1)

Vì \(m,\,n\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\) và từ (1) ta suy ra \(\left\{ \begin{align}  & 1\le n\le 4 \\  & 1\le m\le 3 \\ \end{align} \right.\).

Gọi \(\left( {{n}_{0}};{{m}_{0}} \right)\) là nghiệm của (1).

Ta có bảng giá trị các nghiệm của (1) như sau:

Dựa vào bảng trên ta nhận thấy \(\left( {{n}_{0}};{{m}_{0}} \right)=\left( 3;1 \right)\) thì số tiền mua hoa là nhiều nhất:

\(9.15\,000+3.20\,000=195\,000\) đồng.

Khi đó, số tiền dư ít nhất là 5 000 đồng.

Do cặp \(\left( {{m}^{2}};{{m}^{2}}+2m-2 \right)\) không là nghiệm của bất phương trình \(x+3y-12\ge 0\) nên ta có:

\({{m}^{2}}+3{{m}^{2}}+6m-6-12<0\)\(\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+6m-18<0\)

\(\Leftrightarrow \left( 2m-3 \right)\left( m+3 \right)<0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}  & \left\{ \begin{aligned}  & 2m-3>0 \\  & m+3<0 \\ \end{aligned} \right. \\  & \left\{ \begin{aligned}  & 2m-3<0 \\  & m+3>0 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}  & \left\{ \begin{aligned}  & m>\frac{3}{2}  \\  & m<-3 \\ \end{aligned} \right. (N) \\  & \left\{ \begin{aligned}  & m<\frac{3}{2} \\  & m>-3 \\ \end{aligned} \right. (L) \\ \end{aligned} \right.\).

\(\Leftrightarrow -3<m<\frac{3}{2}\).

Đặt \(x\ge 20,\,y\ge 20\) lần lượt là số kg thuốc loại A và loại B mà công ty sản xuất được.

Từ giả thiết bài toán ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{align}  & x\ge 20 \\  & y\ge 20 \\  & x+y\le 70 \\  & 2x+y\le 110 \\  & x-y\ge 10 \\ \end{align} \right.\) (I)

Số tiền mà công ty cần để sản xuất x kg thuốc loại A và y kg thuốc loại B là

\(P=200\left( x+y \right)+350\left( 2x+y \right)=900x+550y\) nghìn đồng.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là

Thay \(A,\,B,\,C\) vào P ta được:

\({{P}_{A}}=52,5\) triệu đồng, \({{P}_{B}}=38\) triệu đồng, \({{P}_{C}}=51,5\) triệu đồng.

Vậy để chi phí sản xuất là thấp nhất nhà máy phải sản xuất 30 kg thuốc loại A.