Câu hỏi:

Gọi x, y lần lượt là số bông hoa loại 15 000/bông và loại 20 000/bông mà Nga mua.

Điều kiện \(x\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\); \(y\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\).

Theo đề bài ta có bất phương trình \(15x+20y\le 200\).

Mà theo đề, x, y chia hết cho 3 nên giả sử \(x=3n;\,y=3m;\) với \(m,\,n\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\).

Suy ra ta có \(45n+60m\le 200\)\(\Leftrightarrow 9n+12m\le 40\) (1)

Vì \(m,\,n\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\) và từ (1) ta suy ra \(\left\{ \begin{align}  & 1\le n\le 4 \\  & 1\le m\le 3 \\ \end{align} \right.\).

Gọi \(\left( {{n}_{0}};{{m}_{0}} \right)\) là nghiệm của (1).

Ta có bảng giá trị các nghiệm của (1) như sau:

Dựa vào bảng trên ta nhận thấy \(\left( {{n}_{0}};{{m}_{0}} \right)=\left( 3;1 \right)\) thì số tiền mua hoa là nhiều nhất:

\(9.15\,000+3.20\,000=195\,000\) đồng.

Khi đó, số tiền dư ít nhất là 5 000 đồng.

Do cặp \(\left( {{m}^{2}};{{m}^{2}}+2m-2 \right)\) không là nghiệm của bất phương trình \(x+3y-12\ge 0\) nên ta có:

\({{m}^{2}}+3{{m}^{2}}+6m-6-12<0\)\(\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+6m-18<0\)

\(\Leftrightarrow \left( 2m-3 \right)\left( m+3 \right)<0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}  & \left\{ \begin{aligned}  & 2m-3>0 \\  & m+3<0 \\ \end{aligned} \right. \\  & \left\{ \begin{aligned}  & 2m-3<0 \\  & m+3>0 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}  & \left\{ \begin{aligned}  & m>\frac{3}{2}  \\  & m<-3 \\ \end{aligned} \right. (N) \\  & \left\{ \begin{aligned}  & m<\frac{3}{2} \\  & m>-3 \\ \end{aligned} \right. (L) \\ \end{aligned} \right.\).

\(\Leftrightarrow -3<m<\frac{3}{2}\).

Đặt \(x\ge 20,\,y\ge 20\) lần lượt là số kg thuốc loại A và loại B mà công ty sản xuất được.

Từ giả thiết bài toán ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{align}  & x\ge 20 \\  & y\ge 20 \\  & x+y\le 70 \\  & 2x+y\le 110 \\  & x-y\ge 10 \\ \end{align} \right.\) (I)

Số tiền mà công ty cần để sản xuất x kg thuốc loại A và y kg thuốc loại B là

\(P=200\left( x+y \right)+350\left( 2x+y \right)=900x+550y\) nghìn đồng.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là

Thay \(A,\,B,\,C\) vào P ta được:

\({{P}_{A}}=52,5\) triệu đồng, \({{P}_{B}}=38\) triệu đồng, \({{P}_{C}}=51,5\) triệu đồng.

Vậy để chi phí sản xuất là thấp nhất nhà máy phải sản xuất 30 kg thuốc loại A.

Ta có miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền ngũ giác OABCD kể cả biên (phần tô màu trong hình vẽ):

Ta có \(S={{S}_{AEBO}}+{{S}_{BEFC}}+{{S}_{CFD}}=\frac{15}{2}\).

Ta có: \(\hat{C}={{180}^{\circ }}-\left( \hat{A}+\hat{B} \right)={{180}^{\circ }}-\left( {{76}^{\circ }}+{{35}^{\circ }} \right)={{69}^{\circ }}\).

Theo định lí sin:

\(\frac{AB}{\text{sin}C}=\frac{AC}{\text{sin}B}=\frac{BC}{\text{sin}A}\)\(\Rightarrow AC=\frac{AB.\text{sin}B}{\text{sin}C}=\frac{6.\text{sin}{{35}^{\circ }}}{\text{sin}{{69}^{\circ }}}\approx 3,69\) m;

\(\Rightarrow BC=\frac{AB.\text{sin}A}{\text{sin}C}=\frac{6.\text{sin}{{76}^{\circ }}}{\text{sin}{{69}^{\circ }}}\approx 6,24\) m\(\Rightarrow AC+BC\approx 9,93\) m.

Vậy chiều cao ban đầu của cây xấp xỉ bằng \(9,93\) m.