Số chia hết cho \(2\) và \(3\) là số chẵn và có tổng các chữ số của nó chia hết cho \(3\).
Gọi \(\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}}\)là số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho \(2\) và \(3\) được lập từ các chữ số\(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(8\).
Trường hợp 1: \({{a}_{3}}=0\).
Khi đó các chữ số \({{a}_{1}},\,{{a}_{2}}\) được lập từ các tập
\(\left\{ 1;\,2 \right\}\), \(\left\{ 1;\,5 \right\}\), \(\left\{ 1;\,8 \right\}\), \(\left\{ 2;4 \right\}\), \(\left\{ 4;5 \right\}\), \(\left\{ 4;\,8 \right\}\).
Trường hợp này có \(6.2!=12\) số.
Trường hợp 2: \({{a}_{3}}=2\).
Khi đó các chữ số \({{a}_{1}},\,{{a}_{2}}\) được lập từ các tập
\(\left\{ 1;\,0 \right\}\), \(\left\{ 4;\,0 \right\}\), \(\left\{ 1;\,3 \right\}\), \(\left\{ 3;4 \right\}\), \(\left\{ 5;8 \right\}\).
Trường hợp này có \(2+3.2!=8\) số.
Trường hợp 3: \({{a}_{3}}=4\).
Khi đó các chữ số \({{a}_{1}},\,{{a}_{2}}\) được lập từ các tập
\(\left\{ 2;\,0 \right\}\), \(\left\{ 2;\,3 \right\}\), \(\left\{ 3;\,5 \right\}\), \(\left\{ 3;8 \right\}\).
Trường hợp này có \(1+3.2!=7\) số.
Trường hợp 4: \({{a}_{3}}=8\).
Khi đó các chữ số \({{a}_{1}},\,{{a}_{2}}\) được lập từ các tập
\(\left\{ 0;\,1 \right\}\), \(\left\{ 0;\,4 \right\}\), \(\left\{ 1;\,3 \right\}\), \(\left\{ 2;5 \right\}\), \(\left\{ 3;4 \right\}\).
Trường hợp này có \(2+3.2!=8\) số.
Vậy có tất cả \(12+8+7+8=35\) số cần tìm.