Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A(1;1;2)\) và \(B(4;5;1)\). Các điểm M, N di động trên mặt phẳng \((Oxy)\) sao cho \(MN=1\). Tổng \(AM+BN\) có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Phương trình mặt phẳng \((Oxy)\) là: \(z=0\).
Do \({{z}_{A}}\cdot {{z}_{B}}>0\Rightarrow A,B\) cùng phía so với \((Oxy)\).
Gọi \({{A}^{\prime }},{{B}^{\prime }}\) là hình chiễu của A, B lên \((Oxy)\).
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{A}^{\prime }}(1;1;0) \\ {{B}^{\prime }}(4;5;0) \\\end{array}\Rightarrow {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}=5 \right.\).
Ta có: \(A{{A}^{\prime }}=2;B{{B}^{\prime }}=1\).
Đặt \(M{{A}^{\prime }}=x;N{{B}^{\prime }}=y\).
Ta có: \(AM+BN=\sqrt{{{x}^{2}}+{{2}^{2}}}+\sqrt{{{y}^{2}}+{{1}^{2}}}\ge \sqrt{{{(x+y)}^{2}}+{{(2+1)}^{2}}}\) (Bất đẳng thức Mincopxki).
Lại có: \(A{{M}^{\prime }}+MN+N{{B}^{\prime }}\ge {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}=5\).
\(\Rightarrow x+y\ge {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}-MN=4\).
Vậy \(AM+BN\ge \sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5\).
Đề Thi Minh Họa Đánh Giá Năng Lực Năm 2025 – ĐHQG Hà Nội – Đề Số 1 là bài thi được thiết kế hiện đại, đánh giá toàn diện ba nhóm năng lực cốt lõi: Giải Quyết Vấn Đề Và Sáng Tạo, Giao Tiếp Và Hợp Tác, Tự Chủ Và Tự Học. Với cấu trúc ba phần rõ ràng, thí sinh sẽ trải qua Toán Học Và Xử Lí Số Liệu/Tư Duy Định Lượng, Văn Học - Ngôn Ngữ/Tư Duy Định Tính và Khoa Học/Tiếng Anh. Từng câu hỏi trong đề thi không chỉ đánh giá kiến thức mà còn đo lường khả năng lập luận, tư duy logic, ngôn ngữ, tính toán, và cả kỹ năng tiếng Anh. Đây là cơ hội để học sinh thể hiện toàn diện năng lực học tập và khả năng phân tích, giải quyết vấn đề một cách khoa học và sáng tạo.
Câu hỏi liên quan
Which of the following is a generalisation about an animal?
Bệnh tụ huyết trùng trâu bò xảy ra vào thời gian nào trong năm?
Mark the letter A, B, C or D on your answer sheet to indicate the best arrangement of utterances or sentences to make a meaningful exchange or text in each of the following questions from 13 to 17.
Dear Mai,
a. It’s fantastic that you’re interested in supporting environmental projects!
b. Thank you for considering this opportunity.
c. With your involvement, we believe we can make a real impact on protecting our environment.
d. We’re launching "Green Future" to promote eco-friendly practices and organize community clean-ups.
e. We’d love to have you join us in making a difference and inspiring others to do the same.
Warm regards,
Nick
Bản hiệp ước nào đã được sửa chữa một số điều khoản nhằm xoa dịu dư luận, mua chuộc thêm các phần tử phong kiến đầu hàng ?
Read the following passage about education in Nepal and mark the letter A, B, C or D on your answer sheet to indicate the best answer to each of the following questions from 31 to 40.
Fashion in the 1960s reflected the cultural and political upheaval of the time. The hippie and counterculture movement gave rise to accessories like Pocahontas-style headbands and medallions worn around the neck. Hippies wore long, loosely fitting clothing, often in natural fabrics. Hemlines rose as Mary Quant popularized the miniskirt and hot pants in her lines for JC Penney. And mod fashion, with brightly colored space-age geometric patterns, shift dresses and colored tights became the mainstream. Both miniskirts and mod-shift dresses were worn with knee-high go-go boots.
[A] During the 1970s, the loose-fitting hippie clothes of the prior decade gave way to exotic fabrics and bell-bottom jeans for men and women. Hemlines continued to rise and hot pants continued their popularity, reflecting the flashy style of the decade. However, the 1970s also saw the popularity of a longer hemline, from mid-calf to ankle-length. [B] Women wore peasant-style clothing, especially blouses with off-the-shoulder necklines and lace trim, with their jeans or skirts. [C] Disco fashion emerged, featuring bright patterns and tightly fitting clothing meant to show off the body. Platform shoes elevated their wearer, male or female, anywhere from two to four inches or more. [D]
The 1980s saw another fashion upheaval. Angst-ridden punks wore Dr. Marten and steel-toed army boots, chains, tartan patterns, and bondage pants. Punks focused more on their hair during this period, dying, teasing and chopping their hair into asymmetric styles that seemed to defy gravity. Women—and men—experimented with heavy eyeliner in a variety of colors. Women wore neon colors, jelly shoes, tight jeans, leggings, leg warmers and oversized sweatshirts. Menswear-inspired looks also became popular for both sexes. Men wore ‘power suits,’ named so for their price, which made these suits a reflection of the wealth of the wearer. Women’s jackets featured big shoulder pads that made the shoulders appear higher and larger, similar to the male silhouette.
1990’s fashion was far more subdued than the garish, wild styles of the 1980s. Bands like Nirvana influenced the grunge look, which featured rock-concert tee shirts under plaid flannel shirts, jeans and long, greasy hair. Overalls were worn by both sexes, either with one or both shoulder straps unhooked. The punk style of the 1870s and 1980s evolved into the goth fashion trend, which featured black clothing, black boots and studded bracelets in the style of bands like Nine Inch Nails and Marilyn Manson.
Which of the following is best supported by the author of the passage?
Chọn phát biểu đúng về chế độ dinh dưỡng theo giai đoạn vỗ béo của lợn thịt.
Nhận định nào đúng với tình hình phát triển kinh tế của Liên bang Nga?
Phương án nào sau đây nêu đúng giá trị chuyển đổi sang KB của 8GB?
I am reading this novel. By the time you come back from work I _________ it.
Read the following leaflet and mark the letter A, B, C, or D on your answer sheet to indicate the option that best fits each of the numbered blanks from 7 to 12.
ANNOUNCEMENT OF SCHOOL SPORTS DAY
The School Athletics Department is pleased ___(7)___:
● All athletes ___(8)___ to report at the school field by 08:00 AM on June 10.
● Each team must prepare and submit their entry list for each event. Each athlete is allowed to participate ___(9)___ three events.
● The school will ___(10)___ trophies and medals for the winners in each category.
● ___(11)___ you have any inquiries regarding the event schedule or rules, please contact the Athletics Department.
Typically, all the sports ___(12)___ are concluded by an award ceremony. After finishing all the activities, custom awards, incentives, and more should be given to appreciate the competitors and encourage them to improve.
Choose A, B, C or D that has the CLOSEST meaning to the given sentence in the question.
Volunteering can be more rewarding than working for a paycheck.
Một người bơi dọc trong bể bơi dài 50 m. Bơi từ đầu bể đến cuối bể hết 20 s, bơi tiếp từ cuối bể quay về đầu bể hết 22 s. Xác định vận tốc trung bình trong trường hợp bơi từ cuối bể về đầu bể
Tạo ra sản phẩm (hữu hình hay vô hình) nhằm thỏa mãn nhu cầu của con người thuộc yếu tố nào của hoạt động kinh tế?
Máy động lực công suất trung bình có công suất là:
Cho hàm số \(y=\frac{3x-1}{2x-4}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Trong hình dưới đây, người đi ô tô (1), người đi bộ (2) và người đi xe máy (3) đều khởi hành từ cùng một vị trí để đi đến vị trí được đánh dấu. Sắp xếp quãng đường đi được của ba chuyển động ở hình trên theo thứ tự tăng dần?
Để xác định tên của một mẫu muối sodium halide (NaX, với X là nguyên tố halogen), người ta pha lượng muối này vào nước cất, khuấy đều, thu được dung dịch A. Nhỏ dung dịch silver nitrate (AgNO3) dư vào dung dịch A thấy không xuất hiện kết tủa.
Phát biểu nào sau đây đúng?
1. Có thể kết luận X là nguyên tố fluorine.
2. Nhằm tiết kiệm hoá chất, có thể dùng một vài giọt dung dịch A và một vài giọt dung dịch AgNO3 vẫn thu được kết quả phù hợp.
3. Có thể dùng thí nghiệm màu ngọn lửa để xác định tên mẫu muối trên.
4. Có thể thay nước cất bằng nước khoáng đóng chai đã được khử trùng hoàn toàn để thực hiện thí nghiệm trên.
5. Dung dịch A sậm màu, dễ phân huỷ dưới ánh sáng trong quá trình làm thí nghiệm.
* Viết đáp án dưới dạng Số, Số (1, 2, 3).
Việc cho vay một lượng vốn trong một thời hạn nhất định chỉ mang tính chất gì?
Chọn ý đúng: Điều kiện tự nhiên có ảnh hưởng lớn tới phát triển và phân bố của ngành giao thông vận tải được cho thể hiện ở
1. Quy định sự có mặt và vai trò của một số loại hình vận tải
2. Công tác thiết kế và khai thác công trình vận tải
3. Hoạt động của các phương tiện vận tải
4. Không ảnh hưởng đến sự có mặt và vai trò của các loại hình giao thông vận tải
5. Ảnh hưởng rất lớn đến thiết kế các phương tiện vận tải Có bao nhiêu ý đúng trong các câu trên?
Đối với ren thấy, đường đỉnh ren vẽ bằng nét gì?