Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A(1;1;2)\) và \(B(4;5;1)\). Các điểm M, N di động trên mặt phẳng \((Oxy)\) sao cho \(MN=1\). Tổng \(AM+BN\) có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Phương trình mặt phẳng \((Oxy)\) là: \(z=0\).
Do \({{z}_{A}}\cdot {{z}_{B}}>0\Rightarrow A,B\) cùng phía so với \((Oxy)\).
Gọi \({{A}^{\prime }},{{B}^{\prime }}\) là hình chiễu của A, B lên \((Oxy)\).
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{A}^{\prime }}(1;1;0) \\ {{B}^{\prime }}(4;5;0) \\\end{array}\Rightarrow {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}=5 \right.\).
Ta có: \(A{{A}^{\prime }}=2;B{{B}^{\prime }}=1\).
Đặt \(M{{A}^{\prime }}=x;N{{B}^{\prime }}=y\).
Ta có: \(AM+BN=\sqrt{{{x}^{2}}+{{2}^{2}}}+\sqrt{{{y}^{2}}+{{1}^{2}}}\ge \sqrt{{{(x+y)}^{2}}+{{(2+1)}^{2}}}\) (Bất đẳng thức Mincopxki).
Lại có: \(A{{M}^{\prime }}+MN+N{{B}^{\prime }}\ge {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}=5\).
\(\Rightarrow x+y\ge {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}-MN=4\).
Vậy \(AM+BN\ge \sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5\).
Đề Thi Minh Họa Đánh Giá Năng Lực Năm 2025 – ĐHQG Hà Nội – Đề Số 1 là bài thi được thiết kế hiện đại, đánh giá toàn diện ba nhóm năng lực cốt lõi: Giải Quyết Vấn Đề Và Sáng Tạo, Giao Tiếp Và Hợp Tác, Tự Chủ Và Tự Học. Với cấu trúc ba phần rõ ràng, thí sinh sẽ trải qua Toán Học Và Xử Lí Số Liệu/Tư Duy Định Lượng, Văn Học - Ngôn Ngữ/Tư Duy Định Tính và Khoa Học/Tiếng Anh. Từng câu hỏi trong đề thi không chỉ đánh giá kiến thức mà còn đo lường khả năng lập luận, tư duy logic, ngôn ngữ, tính toán, và cả kỹ năng tiếng Anh. Đây là cơ hội để học sinh thể hiện toàn diện năng lực học tập và khả năng phân tích, giải quyết vấn đề một cách khoa học và sáng tạo.
Câu hỏi liên quan
Read the following passage about Innovation Driven by Environmental Need and mark the letter A, B, C or D on your answer sheet to indicate the best answer to each of the following questions from 23 to 30.
Green startups have emerged as forces for positive environmental change. These companies create sustainable solutions for urgent ecological challenges. Unlike traditional businesses prioritizing profits, green startups balance financial goals with environmental responsibility. Many were founded by young entrepreneurs who witnessed environmental degradation and felt compelled to act. Their mission extends beyond making money; they aim to heal our planet while building successful businesses.
Eco-friendly startups have grown across various sectors. From renewable energy and sustainable agriculture to zero-waste products, these companies revolutionize how we interact with our environment. GreenWave developed ocean farming requiring no fertilizers while capturing carbon. Notpla created edible packaging from seaweed as a plastic alternative. These innovations show how creativity and environmental consciousness produce extraordinary results. Their success proves sustainability and profitability can coexist.
Funding for green startups has increased in the past decade. Investors recognize supporting environmentally responsible businesses is both ethical and financially prudent. Venture capitalists have established funds dedicated to sustainable startups, providing capital to scale operations. Government grants have become more accessible to entrepreneurs developing green technologies. Despite positive developments, green startups still face regulatory hurdles and competition from established industries resistant to change.
The future looks promising for environmental businesses as consumers shift toward sustainable products. Studies show modern consumers, particularly younger generations, will pay premium prices for eco-friendly alternatives. This trend creates fertile ground for green startups to thrive. As climate concerns intensify, demand for innovative environmental solutions will grow stronger. Green startups are positioned to meet this demand while driving positive change, demonstrating business innovation and environmental stewardship can create a sustainable world.
Which of the following best paraphrases the underlined sentence in paragraph 4?
Mark the letter A, B, C or D on your answer sheet to indicate the best arrangement of utterances or sentences to make a meaningful exchange or text in each of the following questions from 13 to 17.
a. Nina: Sure! Here you are. Do you need a pencil too?
b. Liam: No, thank you. I have a new pencil in my bag.
c. Liam: Can I borrow your eraser, please?
Vấn đề gây trở ngại cho sự phát triển của Liên minh châu Âu là do
Những con đường vòng phơi bày sự sống ở trong sự vật được Deleuze và Guattari hình dung bằng khái niệm “giải lãnh thổ hóa” của ngôn ngữ. Giải lãnh thổ hóa là một trong nhiều thuật ngữ trung tâm của Deleuze và Guattari, được dùng để mô tả những tiến trình biến đổi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau: sinh lý, tâm lý, văn học, kinh tế, xã hội, chính trị v.v… Nói chung, giải lãnh thổ hóa là vận động nhờ đó một sự vật thoát ly hay thoát khỏi một lãnh thổ có sẵn. Ba tiến trình - hình thành lãnh thổ, giải lãnh thổ hóa và tái lãnh thổ hóa - gắn liền với nhau trong bất kỳ một lĩnh vực nào. […] Thương nhân mua sản phẩm nơi một lãnh thổ, giải lãnh thổ hóa những sản phẩm ấy thành hàng hóa, và tái lãnh thổ hóa trong vòng chu chuyển thương mại. Giải lãnh thổ hóa bao giờ cũng là một tiến trình phức hợp bao gồm ít nhất một yếu tố giải lãnh thổ hóa và một lãnh thổ đã được bỏ lại đằng sau hoặc sẽ được tái tạo. Nghiên cứu của Marx về tích lũy nguyên thủy trong bộ Tư bản minh họa sự vận hành của “các véc tơ của giải lãnh thổ hóa” trong lĩnh vực kinh tế-xã hội: sự phát triển của thị trường hàng hóa giải lãnh thổ hóa nền nông nghiệp phong kiến và dẫn đến sự ra đời của sản xuất thương mại đại trà như là sự tái lãnh thổ hóa ở cấp độ cao hơn. Giải lãnh thổ hóa, như thế, luôn gắn liền với tiến trình tái lãnh thổ hóa tương ứng, nhưng, tái lãnh thổ hóa không phải lúc nào cũng có nghĩa là quay trở lại với “lãnh thổ” nguyên thủy, mà là những con đường trong đó những yếu tố đã được giải lãnh thổ hóa tái kết hợp và đi vào trong những quan hệ mới. Bản thân việc tái lãnh thổ hóa cũng là một tiến trình phức hợp với nhiều hình thức khác nhau và phụ thuộc vào tính chất của tiến trình giải lãnh thổ hóa, trong đó nó diễn ra.
(“Văn học thiểu số” và một cách đọc khác về Kafka, Bùi Văn Nam Sơn)
Từ nội dung của đoạn trích trên, hãy điền những từ phù hợp để hoàn thiện câu văn sau:
Do thị trường hàng hoá không ngừng phát triển, nền nông nghiệp phong kiến đã bị _____ bởi sản xuất thương mại _____.
Có mấy bước lập kế hoạch tài chính cá nhân?
Anion X2- có cấu hình electron lớp ngoài cùng là 3s23p6. Tổng số electron ở lớp vỏ của X2- là
Chọn những phát biểu đúng về AO.
Khi cho dung dịch Benedict vào các ống nghiệm sau rồi đun nóng, ống nào sẽ xuất hiện màu đỏ gạch?
Trong tình huống dưới đây, bà V đã thực hiện quyền nào của công dân?
"Bà V (mẹ chị N) được cấp giấy chứng nhận quyền sử dụng đất đối với thửa đất có diện tích 100 m2, nhưng diện tích đất thực tế không đúng 100 m2 như giấy chứng nhận. Bà V muốn gửi đơn đến cơ quan có thẩm quyền, nhưng do bà hiện nay đã già yếu (75 tuổi) và hay ốm đau, chị N được mẹ uỷ quyền cho chị đến cơ quan nhà nước có thẩm quyền để đề nghị họ xem xét lại sự việc".
Trong lĩnh vực quân đội, quốc phòng, Hồ Quý Ly tiến hành cải cách nào sau đây?
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề đúng?
Read the following advertisement about a new travel platform and mark the letter A, B, C or D on your answer sheet to indicate the option that best fits each of the numbered blanks from 1 to 6. (1,5 points)
DISCOVER NEW TRAVEL BUDDIES WITH TRAVELMATE
"Who will you explore your next destination with? Will they share the same (1) ____________ for adventure, or will they prefer a more relaxing trip?" If you often wonder (2) ____________ your travel companions before your next vacation, we have exciting news for you! TravelMate, a (3) ____________, allows you to select your future travel buddies before your trip. This service is designed to give you a more enjoyable and personalized experience. All you need to do is share your travel preferences with the platform, and you'll be matched with others (4) ____________ similar tastes. Whether you're looking to make new friends or reconnect with previous ones, TravelMate (5) ____________ it easy. If you're seeking adventure or simply want (6) ____________ a relaxing getaway, there's a perfect match waiting for you!
Vì sao pháp luật là quy tắc xử sự chung cho tất cả mọi người?
Vì sao không nên sao chép một trò chơi trên đĩa CD Rom mà bạn không có giấy đăng ký bản quyền?
Cuộc cách mạng nào dưới đây trở thành cốt lõi của cuộc cách mạng khoa học- công nghệ diễn ra từ những năm 70 của thế kỉ XX?
Nguyên tố nào sau đây không phải là nguyên tố vi lượng?
Có thể sử dụng mẫu vật nào sau đây để tiến hành thí nghiệm xác định sự có mặt của lipid trong tế bào?
Tâm trạng của Xi-ta khi gặp lại Ra-ma như thế nào?
Cho hai địa điểm A và B cách nhau 144 km, cho hai ô tô chuyển động cùng chiều, cùng lúc từ A đến B, xe một xuất phát từ A, xe hai xuất phát từ B. Xe từ A có v1, xe từ B có . Biết rằng sau 90 phút thì 2 xe gặp nhau. Tính vận tốc mỗi xe.
Nhật Bản trở thành siêu cường tài chính số một của thế giới từ khi nào?
