Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A\left( 1\,;\,2 \right)\), \(B\left( -3\,;\,4 \right)\), đường thẳng \(\Delta \) là \(x+y-2=0\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\left\{ \begin{align}  & x=2-t \\  & y=1+3t \\ \end{align} \right.\) và \({{d}_{2}}:\left\{ \begin{align}  & x=2+1s \\  & y=1-2s \\ \end{align} \right.\).

Tính \(\cos \alpha \).

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \(\Delta :3x-4y=6\); \({\Delta }':x-y-1=0\). Gọi \(M\left( {{x}_{0}};\,{{y}_{0}} \right)\) là điểm nằm trên đường thẳng \({\Delta }'\) và cách đường thẳng \(\Delta \) một khoảng bằng \(\frac{4}{5}\). Tính \({{x}_{0}}+\,{{y}_{0}}\)biết điểm \(M\) nằm bên trái trục tung.

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ \(Oxy\), một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align}  & x=1-2t \\ 

 & y=2+3t \\ \end{align} \right.\) là:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) với \({a^2} + {b^2} > 0\). Khi đó khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) được tính bằng công thức nào sau đây?

Cho \(\Delta \) là đường thẳng qua \(M\left( 2\,;\,-3 \right)\) và song song với \(d:x-4y+2025=0\). Điểm thuộc đường thẳng \(\Delta \) là:

Trong mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\), cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(D\left( -2;9 \right)\) và nhận vectơ \(\vec{u}=\left( 1;-10 \right)\) làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là:

Trong mặt phẳng tọa độ, một thiết bị âm thanh được phát từ vị trí \(A\left( 4;4 \right)\). Người ta dự định đặt một máy thu tín hiệu trên đường thẳng có phương trình: \(x-y-3=0\). Khi đặt máy tại vị trí \(M\left( a;b \right)\) sẽ nhận được tín hiệu sớm nhất. Tính \(a+b\).

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\) có phương trình tổng quát \(2x-y+5=0\). Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là:

Trong mặt phẳng \(Oxy,\) đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( 24;9 \right)\) và \(B\left( 10;23 \right)\) có phương trình là:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - y + 6 = 0\), \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\).

Đường thẳng đi qua \(M\left( {3; - 1} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 2;5} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) với \({a^2} + {b^2} > 0\). Khi đó khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) được tính bằng công thức nào sau đây?

Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + 2y - 1 = 0\) và \({\Delta _2}: - 2x + y + 10 = 0\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Đường thẳng \(d\) đi qua gốc tọa độ \(O\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( -1;2 \right)\) có phương trình tham số là:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A\left( {2;1} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( 4;-1 \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :3x-2y+1=0\) là:

Tìm góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 15 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 4 + 2t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).

Đường thẳng đi qua \(M\left( {3; - 1} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 2;5} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}: - x + \sqrt 3 y - 1 = 0\) và \({d_2}:\sqrt 3 x - 3y = 0\) bằng:

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta \) cắt các tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại các điểm \(A,B\) sao cho \(OA=2,OB=5\). Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(mx+ny-20=0\). Giá trị của \(P=m+n\) là: