Đặt \(f\left( x \right)=\left( {{m}^{2}}-5m+4 \right){{x}^{5}}+{{x}^{2}}+4\).
- Nếu \({{m}^{2}}-5m+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=1 \\ & m=4 \\ \end{align} \right.\).
Khi đó phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \({{x}^{2}}+4=0\) (vô nghiệm).
- Nếu \({{m}^{2}}-5m+4\ne 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m\ne 1 \\ & m\ne 4 \\ \end{align} \right.\)
* Khi \({{m}^{2}}-5m+4>0\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 4;+\infty \right)\).
Ta có \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,[({{m}^{2}}-5m+4){{x}^{5}}+{{x}^{2}}+4=0]=+\infty \) nên tồn tại \(b>0\) sao cho \(f\left( b \right)>0\)
và \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,[({{m}^{2}}-5m+4){{x}^{5}}+{{x}^{2}}+4=0]=-\infty \) nên tồn tại \(a<0\) sao cho \(f\left( a \right)<0\).
Suy ra \(f\left( a \right).f\left( b \right)<0\) và \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\).
Do đó \(\left( 1 \right)\) có ít nhất \(1\) nghiệm trên khoảng \(\left( a;b \right)\).
Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có ít nhất \(1\) nghiệm.
* Khi \({{m}^{2}}-5m+4<0\Leftrightarrow m\in \left( 1;4 \right)\).
Ta có \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,[({{m}^{2}}-5m+4){{x}^{5}}+{{x}^{2}}+4=0]=-\infty \) nên tồn tại \(b>0\) sao cho \(f\left( b \right)<0\)
và \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,[({{m}^{2}}-5m+4){{x}^{5}}+{{x}^{2}}+4=0]=+\infty \) nên tồn tại \(a<0\) sao cho \(f\left( a \right)>0\).
Suy ra \(f\left( a \right).f\left( b \right)<0\) và \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\).
* Do đó \(\left( 1 \right)\) có ít nhất \(1\) nghiệm trên khoảng \(\left( a;b \right)\).
Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có ít nhất \(1\) nghiệm.
Vậy khi \(m\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1;4 \right\}\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có ít nhất \(1\) nghiệm.
Mà \(m\in \mathbb{Z}\) và \(m\in \left[ -2;9 \right]\) suy ra \(m\in \){-2; -1; 0; 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9}.
