Ta có \(MI=5\) nên \(M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\), bán kính \(R=5\).
\(d\left( I\,,\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.1-1.2+2.\left( -4 \right)-10 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=6>R\).
Ta thấy \(A\in (P)\) có VTPT \(\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 2\,;\,-1\,;\,2 \right)\) và \(\overrightarrow{IA}=\left( 1\,;\,-2\,;\,7 \right)\).
\(IA=\sqrt{{{\left( 2-1 \right)}^{2}}+{{\left( 0-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3+4 \right)}^{2}}}=3\sqrt{6}\).
\(\sin \alpha =\sin \left( IA\ ,\ \left( P \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{IA}\,,\,\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right) \right|=\frac{\left| \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}{\left| \overrightarrow{IA} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}=\frac{\left| 2.1+1.2+2.7 \right|}{3\sqrt{6}.3}=\frac{\sqrt{6}}{3}.\)
Diện tích \(\Delta IAN\):
\(\begin{align} & {{S}_{\Delta IAN}}=\frac{1}{2}.IA.AN.\sin \left( \widehat{IAN} \right)=18\sqrt{2} \\ & \Leftrightarrow \frac{1}{2}.3\sqrt{6}.AN.\sin \left( \widehat{IAN} \right)=18\sqrt{2} \\ & \Rightarrow AN.\sin \left( \widehat{IAN} \right)=4\sqrt{3}. \\ \end{align}\)
\(\begin{align}& \sin \alpha \leq \sin (\widehat{\mathrm{IAN}}) \leq \sin 90^{\circ}=1 \\& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{AN} \cdot \sin (\widehat{\mathrm{IAN}}) \geq \mathrm{AN} \cdot \sin \alpha \\\mathrm{AN} \cdot \sin (\widehat{\mathrm{IAN}}) \leq \mathrm{AN}\end{array}\right. \\& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{AN} \leq \frac{4 \sqrt{3}}{\sin \alpha}=6 \sqrt{2} \\\mathrm{AN} \geq 4 \sqrt{3}\end{array}\right.\end{align}\)
Gọi \(H\) là điểm hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Gọi d là đường thẳng qua \(I\left( 1;2;-4 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên d có VTCP \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 2\,;\,-1\,;\,2 \right)\).
\(d:\left\{ \begin{align} & x=1+2t \\ & y=2-t \\ & z=-4+2t \\ \end{align} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)\), \(H\in d\Rightarrow H\left( 1+2t\,;\,2-t\,;\,-4+2t \right)\).
Mà \(H\in \left( P \right)\).
\(\Rightarrow 2\left( 1+2t \right)-\left( 2-t \right)+2\left( -4+2t \right)-10=0\Leftrightarrow t=2\Rightarrow H\left( 5\,;\,0\,;\,0 \right)\).
Ta có \(AH=\sqrt{{{\left( 5-2 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}}=3\sqrt{2}\) và \(IH=d\left( I\,;\,\left( P \right) \right)=6\).
Xét \(\Delta HAN\) có \(HN\le HA+AN\le 3\sqrt{2}+6\sqrt{2}=9\sqrt{2}\).
Dấu \(''=''\) xảy ra khi \(H,\,A,\,N\) thẳng hàng và \(A\) nằm giữa \(H\) và \(N\) \(\left( 1 \right)\).
Xét \(\Delta IHN\) vuông tại \(H\) có:
\(IN=\sqrt{I{{H}^{2}}+H{{N}^{2}}}\le \sqrt{{{6}^{2}}+{{\left( 9\sqrt{2} \right)}^{2}}}=3\sqrt{22}\).
Xét \(\Delta MIN\) có \(MN\le MI+IN=R+IN=5+3\sqrt{22}\).
Dấu \(''=''\) xảy ra khi \(M,\ I,\ N\) thẳng hàng và \(I\) nằm giữa \(M\) và \(N\) \((2)\).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(M,\,N\in \left( IHA \right)\).
Vậy giá trị lớn nhất của đoạn \(MN=5+3\sqrt{22}\simeq 19,1\).
