Một hạt chuyển động trên một đường thẳng có gắn một trục tọa độ với gốc tọa độ là vị trí hạt bắt đầu chuyển động. Tọa độ của hạt trên trục tại thời điểm \(t\) (đơn vị: giây) kể từ khi xuất phát được cho bởi công thức \(x\left( t \right)=2t-3\ln \left( t+1 \right)\) (đơn vị: mét), \(t\ge 0\). Hàm số \(v\left( t \right)={x}'\left( t \right)\) (đơn vị: mét/giây) biểu thị vận tốc chuyển động của hạt.

Hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(K\) nếu:

Hàm số \(F\left( x \right)=\text{sin}2x\) là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{2}}+\frac{2}{{{x}^{2}}}\).

Mặt cắt ngang của một ống dẫn nước nóng là hình vành khuyên như hình vẽ

Bán kính ngoài là \(r~cm\) và bán kính trong là \(2~cm~(r>2)\). Bên trong ống, nhiệt độ nước được duy trì ở mức \({{100}^{\circ }}\text{C}\). Bên trong kim loại, nhiệt độ giảm dần từ bên trong ra bên ngoài. Biết rằng nhiệt độ \(T\left( {{~}^{\circ }}\text{C} \right)\) tại điểm \(A\) trên thành ống là hàm số của khoảng cách \(x\left( \text{cm} \right)\) từ \(A\) đến tâm của mặt cắt và thoả mãn \({T}'\left( x \right)=-\frac{10}{x}\) với \(2\le x\le r\).

Tìm \(F(x) = \int \pi^2 dx\).

Phát biểu nào sau đây là đúng?

Cho các hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho hàm số \(f(x)={{e}^{x}}+2\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Trong mỗi ý a), b), c). d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Người ta truyền nhiệt cho một bình nuôi cấy vi sinh vật từ \(1^\circ C\). Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại thời điểm t phút \((0 \leqslant t \leqslant 5)\) được cho bởi hàm số \(f(t) = 3t^2\) (\(^\circ C\)/phút). Biết rằng nhiệt độ của bình đó tại thời điểm t là một nguyên hàm của hàm số \(f(t)\). Tìm nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút kể từ khi truyền nhiệt.

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=4x+\text{sin}x\) là:

Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=4{{x}^{3}}+3x+2\) là:

Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}\) là:

Cho hàm số \(f(x) = \tan^2x\) và \(F(x)= \int f(x)dx\).

Biết \(F\left( x \right)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=2x+\frac{1}{{{x}^{2}}}\) trên khoảng \(\left( 0;+\infty  \right)\).

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?

Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}\) là:

Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=3{{x}^{2}}+1\) là:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 5x^4 - 8x^3 - 6x\) là:

Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang, Điểm A là cột mốc, chiều dương hướng sang phải, với gia tốc phụ thuộc vào thời gian \(t\left( \text{s} \right)\) được mô hình hóa như sau \(a\left( t \right)=2t-7\text{ }\left( \text{m/}{{\text{s}}^{2}} \right)\). Biết vận tốc đầu bằng \(\text{6 }\left( \text{m/s} \right)\), xét tính đúng sai của các khẳng định sau: