Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có dạng \(y=\frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{px+q}\)\(\left( a\ne 0;p\ne 0 \right)\) và có đồ thị hàm số như hình bên dưới:

a) Sai. Vì quan sát đồ thị hàm số ta thấy hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right)\); \(\left( 3;+\infty  \right)\).

b) Đúng. Vì quan sát đồ thị hàm số ta thấy điểm cực đại của đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) là \(\left( -1;0 \right)\) và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) là \(\left( 3;8 \right)\).

c) Đúng.

Vì quan sát đồ thị hàm số ta thấy hàm số có dạng \(y=\frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{px+q}\)\(\left( a\ne 0;p\ne 0 \right)\).

Xét tính đúng sai bằng cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

\(y=f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{x-1}\)

Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

\(y=\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{x-1}=x+3+\frac{4}{x-1}\) có \(y'=1-\frac{4}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-2x-3}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\).

\(y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=0\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=3\).

Trên các khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( 3;+\infty  \right)\), \(y'>0\) nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.

Trên các khoảng \(\left( -1;1 \right)\) và \(\left( 1;3 \right)\), \(y'<0\) nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\) với\({{y}_{C}}=0\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\) với \({{y}_{CT}}=8\).

\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{x-1}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\frac{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}}}=-\infty \);\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{x-1}=+\infty \).

Tiệm cận:

\(\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{lim}}\,y=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{lim}}\,\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{lim}}\,\left( x+3+\frac{4}{x-1} \right)=-\infty \);

\(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{lim}}\,y=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{lim}}\,\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{lim}}\,\left( x+3+\frac{4}{x-1} \right)=+\infty \);

\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\left[ y-\left( x+3 \right) \right]=\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\frac{4}{x-1}=0\); \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\left[ y-\left( x+3 \right) \right]=\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\frac{4}{x-1}=0\).

Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=1\); tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x+3\)

Bảng biến thiên:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left( 0;-1 \right)\).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( -1;0 \right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(\left( 1;4 \right)\) của hai tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm tâm đối xứng. Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai tiệm cận này làm hai trục đối xứng.

d) Đúng.

Đồ thị hàm số\(f\left( x \right)\) ở hình câu c là của hàm số:

\(y=f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{x-1}=x+3+\frac{4}{x-1}\) ( C )

Có \(I\left( 1;4 \right)\) là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Gọi \(M\left( x;y \right)\in \left( C \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow{IM}=\left( x-1;y-4 \right)\), bình phương khoảng cách IM:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   \text{I}{{\text{M}}^{2}} & ={{(\text{x}-1)}^{2}}+{{(\text{y}-4)}^{2}}  \\   {} & ={{(\text{x}-1)}^{2}}+{{\left( \text{x}+3+\frac{4}{\text{x}-1}-4 \right)}^{2}}  \\   {} & ={{(\text{x}-1)}^{2}}+{{\left( \text{x}-1+\frac{4}{\text{x}-1} \right)}^{2}}  \\   {} & ={{(\text{x}-1)}^{2}}+{{(\text{x}-1)}^{2}}+8+{{\left( \frac{4}{\text{x}-1} \right)}^{2}}  \\   {} & =2{{(\text{x}-1)}^{2}}+\frac{16}{{{(\text{x}-1)}^{2}}}+8.  \\\end{array}\)

Theo bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)

\(I{{M}^{2}}\ge 2\sqrt{32}+8=8\sqrt{2}+8\Leftrightarrow IM\ge \sqrt{8\sqrt{2}+8}\)

Dấu \(''=''\) xảy ra khi: \(2{{\left( x-1 \right)}^{2}}=\frac{16}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{4}}=8\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2\sqrt{2}}+1\).

Điểm M trên đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có khoảng cách đến I là nhỏ nhất \(Min\,IM=\sqrt{8\sqrt{2}+8}\) (với I là giao điểm của hai tiệm cận) với hoành độ dương là\(\sqrt{2\sqrt{2}}+1\).