Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, $S A ⊥ (A B C D), S A = A C$ . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng?

$2 a \sqrt{2}$

$a$

$2 a$

$a \sqrt{2}$

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

Do ABCD là hình vuông cạnh 2a nên: $A C = \sqrt{A D^{2} + D C^{2}} = 2 a \sqrt{2} .$

Do đó $S A = 2 a \sqrt{2} .$ Do $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A C .$

Do đó $Δ S A C$ là tam giác vuông cân.

Gọi H là trung điểm của SC.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Khi đó OH là đường trung bình của $Δ S A C .$

Do đó $H O / / S A .$ Kết hợp với $S A ⊥ (A B C D)$ ta nhận được $H O ⊥ (A B C D) .$

Vì vậy $H O ⊥ A C, H O ⊥ B D .$

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông $Δ H O A, Δ H O B$ ta có:

$H B^{2} = H O^{2} + O B^{2} = H O^{2} + O A^{2} = H A^{2} .$

Tương tự ta có $H A = H B = H C = H D = H S .$

Vậy H là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.

Ta có $A H = \frac{1}{2} S C = \frac{1}{2} \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{{(2 a \sqrt{2})}^{2} + {(2 a \sqrt{2})}^{2}} = 2 a .$

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD là 2a.

Chọn đáp án C.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Bộ Đề Kiểm Tra Học Kì I - Toán 12 - Trường THPT Hùng Vương - Đề Số 1

Bộ Đề Kiểm Tra Học Kì I - Toán 12 - Trường THPT Hùng Vương giúp các em học sinh kiểm tra toàn bộ kiến thức đã học trong học kỳ. Từ đó, các em sẽ rèn luyện các kỹ năng giải bài, tư duy logic để đạt kết quả tốt và chuẩn bị cho kỳ thi cuối năm.

11/12/2023

0 lượt thi

0 / 40

Bắt đầu thi