Hàm số \(f(x)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm là \(f^{\prime}(x)=|x-1|\). Biết rằng \(f(0)=3\). Tổng \(f(2)+f(4)\) bằng bao nhiêu?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Ta có \(f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x-1 & \text { khi } & x \geq 1 \\ -(x-1) & \text { khi } & x<1\end{array}\right.\).
Khi \(x \geq 1\) thì \(f(x)=\int(x-1) \mathrm{d} x=\frac{x^{2}}{2}-x+C_{1}\).
Khi \(x<1\) thì \(f(x)=-\int(x-1) \mathrm{d} x=-\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)+C_{2}\).
Theo đề bài ta có \(f(0)=3\) nên \(C_{2}=3 \Rightarrow f(x)=-\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)+3\) khi \(x<1\).
Mặt khác do hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x=1\) nên \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=f(1)\)
\(\Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow 1^{-}}\left[-\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)+3\right]=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\left[\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)+C_{1}\right]\)
\(\Leftrightarrow-\left(\frac{1}{2}-1\right)+3=\frac{1}{2}-1+C_{1} \Leftrightarrow C_{1}=4\)
Vậy khi \(x \geq 1\) thì \(f(x)=\frac{x^{2}}{2}-x+4\).
\(\Rightarrow f(2)+f(4)=12\).
Câu hỏi liên quan
Read the passage carefully
1. No matter who we are or where we are from, we only have 24 hours each day to get things done. Some people seem to make the most of their time, using it to achieve their goals and dreams. Others feel that life is passing them by and they aren’t accomplishing anything. If you are in the latter group, it is not too late to turn things around. By implementing a few simple hacks, you can start getting better results very quickly.
2. If you want to become more productive, it pays to learn about the Pareto principle (which is also known as the 80-20 rule). It states that for most tasks, 80 percent of the results we get come from 20 percent of the work we do. For example. 80 percent of the company sales usually come from 20 percent of customers. Therefore, the trick is to focus your efforts on the key 20 percent of actions that truly matter to greatly improve your results.
3. In some cases, people may be busy from morning to night but still seem to get nothing done. In this situation, the problem might be that clear goals haven’t been set. To fix this, set some time aside to list the things you want to achieve in life. Then, select the top three or four that you want to focus on for the next year. Look at your goals every night before bedtime and ask yourself what are the next actions to accomplish each day. Then, promise yourself that you will finish these tasks no matter how busy you get. If possible try completing the tasks first thing in the morning so you are assured of success.
4. Another common mistake regarding productivity is not considering our energy levels. If we try to work around the clock, we will eventually get tired and quit. Everyone needs time to sleep, eat, socialize with friends, and unwind from the stress of the day. To make sure you don’t burn out, be sure to schedule some time for breaks and fun activities into your schedule every day. Finally, no matter how difficult your goals may seem, remember the old saying that “a journey of a thousand miles begins with a single step”.
What is the main idea of the passage?
Vị trí địa lý của Hoa Kì về phía Đông thuận lợi giao lưu với các nước khu vực nào?
Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Có ít nhất một số thực x thỏa mãn điều kiện bình phương của nó là 1 số không dương” là:
Các cấp tổ chức của thế giới sống không bao gồm thành phần nào dưới đây?
Do doanh nghiệp vẫn phải nhập khẩu linh kiện để lắp ráp ô tô nên phải nộp thuế nào sau đây?
Liệt kê các phần tử của tập hợp X={x∈Z∣∣2x2−3x+1=0}.
Cho định lý sau: “Một tam giác là tam giác đều thì tam giác đó có ba đường phân giác bằng nhau”.
Phát biểu định lý đảo của định lý trên dưới dạng điều kiện cần.
Giả sử trong lõi một ngôi sao, sau khi diễn ra các phản ứng tổng hợp hạt nhân để chuyển hóa toàn bộ hạt nhân hydrogen (\(^1_1\)H) thành hạt nhân helium (\(^4_2\)He) thì ngôi sao lúc này chỉ có helium với khối lượng 4,5.10\(^{32}\) kg. Sau đó, \(^4_2\)He tiếp tục thực hiện các phản ứng tổng hợp hạt nhân và chuyển hóa thành hạt nhân carbon (\(^{12}_6\)C) theo phương trình: \(^4_2\)He + \(^4_2\)He + \(^4_2\)He→\(^{12}_6\)C+7,27MeV. Giả thiết toàn bộ năng lượng nhiệt từ quá trình tổng hợp \(^4_2\)He đều được phát ra với công suất trung bình là 5,1.10\(^{30}\) W. Cho 1 năm bằng 365,25 ngày, khối lượng mol của helium là 4 g/mol, số Avogadro N₁ = 6,02.10\(^{23}\) mol¯¹, và 1 eV = 1,6.10\(^{-19}\) J. Sau bao nhiêu triệu năm thì \(^4_2\)He ở ngôi sao này sẽ chuyển hoá hết thành \(^{12}_6\)C? Lấy kết quả xấp xỉ đến hai chữ số thập phân.
Thiên nhiên phần lãnh thổ phía bắc nước ta đặc trưng cho vùng khí hậu nào sau đây?
Mark the letter A, B, C or D on your answer sheet to indicate the best arrangement of utterances or sentences to make a meaningful exchange or text in each of the following questions from 13 to 17.
a. Tom: Hi, Anna! Yeah, I’ve been going to the gym regularly.
b. Anna: Hi, Tom! Have you been working out? You look great!
c. Anna: It shows! Keep it up, you’re doing awesome!
Ở người và động vật, chức năng bảo vệ cơ thể chống lại các tác nhân gây bệnh do đâu?
Hai điểm A và B trên cùng một bán kính của một vô lăng đang quay đều, cách nhau 20cm. Điểm A ở phía ngoài có tốc độ\({v_A} = 0,6\)m/s, còn điểm B có \({v_B} = 0,2\)m/s. Tốc độ góc của vô lăng và khoảng cách từ điểm B đến trục quay là
Phương án nào sau đây giải thích đúng nhất về khả năng lưu trữ của các thiết bị số?
Kết quả của phong hoá lí học là gì?
Read the following passage about the impact of social media on mental health and mark the letter A, B, C, or D on your answer sheet to indicate the best answer to each of the following questions
[I] In recent years, social media platforms have become a central part of daily life, offering users countless ways to connect, share, and communicate. [II] While these platforms offer many advantages, experts have noted rising concerns about their effects on mental health, particularly among young people (Smith & Anderson, 2018). [III] Studies reveal that excessive social media use can contribute to feelings of anxiety, depression, and loneliness, despite its intention to promote connection and social interaction (Twenge & Campbell, 2019). [IV]
A primary reason for these mental health concerns is the tendency for social media users to compare themselves to others. Platforms like Instagram and Facebook often highlight idealized lifestyles, leading users to feel inadequate about their own lives. Additionally, the constant notifications and messages contribute to a "fear of missing out," or FOMO, which keeps individuals in a cycle of checking their phones, often reducing the quality of sleep and overall well-being.
There is also a growing body of research suggesting a link between social media use and decreased attention spans. When users frequently switch between apps and notifications, their ability to focus for extended periods may diminish (Rosen, 2019). This shift in attention can interfere with productivity, especially in academic and professional settings, where sustained focus is essential.
Addressing these challenges requires a multi-faceted approach. Some mental health professionals suggest limiting screen time and setting boundaries, such as "device-free" hours before bedtime. Others recommend engaging in offline activities, like reading or exercising, to reduce dependence on social media and build healthier habits. According to psychologists, such strategies can bu mental resilience and allow for more meaningful, balanced relationships (Robinson & Smith, 2020).
The phrase "fear of missing out" in paragraph 2 could be best replaced by ____.
Bất phương trình \({a^x} > b\left( {0 < a \ne 1} \right)\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) khi?
Đưa một khung dây dẫn ABC hình tam giác chuyển động đều vào vùng từ trường đều vuông góc với mặt phẳng vòng dây (như hình vẽ).
Trước khi khung dây hoàn toàn đi vào vùng từ trường, dòng điện cảm ứng có:
Vấn đề xung đột tài nguyên nước thường diễn ra ở
Nếu xét ba gen, gen A gồm có 2 alen nằm trên NST X, thuộc vùng không tương đồng với NST Y. Gen B và gen C đều có 2 alen, nằm trên một NST thường và liên kết gen không hoàn toàn. Hỏi một cơ thể lưỡng bội có thể có tối đa bao nhiêu kiểu gen về các cặp alen đang xét?
Read the following passage and mark the letter A, B, C or D on your answer sheet to indicate the correct word or phrase that best fits each of the numbered blanks from 31 to 35:
In Germany, it's important to be serious in a work situation. They don't mix work and play so you shouldn't make jokes (31) ______ you do in the UK and USA when you first meet people. They work in a very organized way and prefer to do one thing at a time. They don't like interruptions or (32) ______changes of schedule. Punctuality is very important so you should arrive on time for appointments. At meeting, it’s important to follow the agenda and not interrupt (33) ______speaker. If you give a presentation, you should focus (34) ______ facts and technical information and the quality of your company's products. You should also prepare well, as they may ask a lot of questions. Colleagues normally use the family names, and title - for example 'Doctor' or 'Professor', so you shouldn't use first names (35) ______ a person asks you to.
Question 34