Hàm số \(f(x)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm là \(f^{\prime}(x)=|x-1|\). Biết rằng \(f(0)=3\). Tổng \(f(2)+f(4)\) bằng bao nhiêu?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Ta có \(f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x-1 & \text { khi } & x \geq 1 \\ -(x-1) & \text { khi } & x<1\end{array}\right.\).
Khi \(x \geq 1\) thì \(f(x)=\int(x-1) \mathrm{d} x=\frac{x^{2}}{2}-x+C_{1}\).
Khi \(x<1\) thì \(f(x)=-\int(x-1) \mathrm{d} x=-\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)+C_{2}\).
Theo đề bài ta có \(f(0)=3\) nên \(C_{2}=3 \Rightarrow f(x)=-\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)+3\) khi \(x<1\).
Mặt khác do hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x=1\) nên \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=f(1)\)
\(\Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow 1^{-}}\left[-\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)+3\right]=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\left[\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)+C_{1}\right]\)
\(\Leftrightarrow-\left(\frac{1}{2}-1\right)+3=\frac{1}{2}-1+C_{1} \Leftrightarrow C_{1}=4\)
Vậy khi \(x \geq 1\) thì \(f(x)=\frac{x^{2}}{2}-x+4\).
\(\Rightarrow f(2)+f(4)=12\).
Câu hỏi liên quan
Kí hiệu của bản đồ dùng để thể hiện điều gì?
Điều nào sai khi nói về các đặc điểm của virus?
Có n lò xo giống hệt nhau, mỗi lò xo có độ cứng k. Nối liền chúng (mắc nối tiếp) thành một lò xo dài. Độ cứng của lò xo mới là k’
Đọc đoạn thơ và trả lời câu hỏi dưới đây.
Ngập ngừng mép núi quanh co,
Lưng đèo quán dựng, mưa lò mái ngang…
Vi vu gió hút nẻo vàng;
Một trời thu rộng mấy hàng mây nao.
Dừng cương nghỉ ngựa non cao
Dặm xa lữ thứ kẻ nào héo hon…
Đi rồi, khuất ngựa sau non;
Nhỏ thưa tràng đạc tiếng còn tịch liêu…
(Huy Cận, Lửa thiêng, Nxb Hội Nhà văn, HN, 1992, tr. 39)
Phương thức biểu đạt chính của đoạn thơ trên là gì?
Một vật đang nằm yên trên mặt đất, lực hấp dẫn do Trái đất tác dụng vào vật có độ lớn
Dùng kí hiệu khoảng, đoạn, nửa khoảng viết lại tập hợp \(A = \{ x \in \mathbb{R}| - 5 \le x < 3\} \)?
Cho hai tập hợp A = {0; 2; 3; 5} và B = {2; 7}. Khi đó \[{\rm{A}} \cap {\rm{B}}\]
Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 3x + 4} \right)}}.\)
- Số tập con của tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|3{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2} - 2{x^2} - 2x = 0} \right\}\) là:
Công dân trình báo cho cơ quan có thẩm quyền về hành vi vi phạm pháp luật gây thiệt hại đến lợi ích hợp pháp của công dân, cơ quan, tổ chức là thực hiện quyền gì?
Quá trình nguyên phân xảy ra ở loại tế bào nào sau đây?
Cho 5 điểm M, N, P, Q, R. Tính tổng ?
Các ngành công nghiệp nào có điều kiện tài nguyên thuận lợi để phát triển ở phần lãnh thổ phía Tây của nước Nga?
Nguyên tố nào là nguyên tố vi lượng?
Hộp số ô tô có:
Điều nào sai khi nói về các đặc điểm của virus?
Vai trò của ngân sách nhà nước thể hiện như thế nào trong những trường hợp sau: Chính phủ họp bàn xây dựng lộ trình tăng lương cho cán bộ công chức, viên chức?
Cho biết những phát biểu dưới đây là đúng hay sai.
Cho mệnh đề: “x2 – 1 chia hết cho 24 khi và chỉ khi x là một số nguyên tố lớn hơn 3”.
Mệnh đề trên không thể viết lại thành mệnh đề nào sau đây?
Bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao \(10\) m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng \(\frac{3}{4}\) độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn (đơn vị mét).
