Để trang trí cửa sổ hình chữ nhật với kích thước \(80cm\times 60cm\) thì anh Duy đã tô màu 2 hoạ tiết giới hạn bởi Parabol \(f\left( x \right)\) , hàm số \(g\left( x \right)\) và các cạnh của cửa sổ bằng màu vàng (kí hiệu sọc nghiêng) và màu xanh (vùng tô đậm) (như hình vẽ). Biết rằng đồ thị hàm số của\(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(AB\) và diện tích phần màu vàng bằng \(\frac{1600}{3}\left( c{{m}^{2}} \right)\). Biết mỗi lọ sơn, sơn được tối đa \(30c{{m}^{2}}\) thì tổng số tiền (đơn vị: triệu đồng và làm tròn đến phần trăm) bạn cần phải trả để trang trí cửa sổ bẳng bao nhiêu? Cho biết giá của một lọ sơn vàng là \(50.000\) đồng, giá của một lọ sơn xanh là \(30.000\) đồng (lọ sơn không bán lẻ).

Pasted image

Trả lời:

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

Pasted image

Đầu tiên ta có diện tích của phần tô vàng (tức diện tích phần kẻ sọc) là (áp dụng công thức tính nhanh diện tích parabol) ta có:

\({{S}_{v}}=\frac{2}{3}h.40=\frac{1600}{3}\to h=20\to d\left( C;Ox \right)=60-20=40\to C\left( 20;40 \right)\).

Xét parabol phần tô vàng có dạng \(\left( P \right):y=a{{x}^{2}}+bx+c\).

Biết \(\left( P \right)\cap Oy=D\left( 0;60 \right)\) và \(C\left( 20;40 \right)\in \left( P \right)\) và vừa là đỉnh là parabol, dễ dàng suy ra được \(x=20\) là trục đối xứng tức \(\left( P \right):y=a{{\left( x-20 \right)}^{2}}+40\).

Với \(C\left( 20;40 \right)\in \left( P \right)\) ta giải ra \(a=\frac{1}{20}\) tức ta có:

\(\left( P \right):y=\frac{1}{20}{{\left( x-20 \right)}^{2}}+40\).

Tiếp đến xét đường thẳng \(AB\) đi qua 2 điểm \(A\left( 10;0 \right)\) và \(B\left( 70;60 \right)\), khi ấy ta có

\(\left( AB \right):y=x-10\).

Gọi \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in f\left( x \right),N\left( x;y \right)\in g\left( x \right)\). Do đồ thị hàm số của \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(AB\) nên suy ra ta có hệ sau

\(\left\{\begin{array}{l}\frac{x+x_0}{2}-\frac{y+y_0}{2}-10=0 \\ \frac{x-x_0}{1}=\frac{y-y_0}{-1}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_0=y+10 \\ y_0=x-10\end{array}\right.\right.\),

mà \(M\in \left( P \right):y=\frac{1}{20}{{\left( x-20 \right)}^{2}}+40\).

Nên khi ấy ta có:

\({{y}_{0}}=\frac{1}{20}{{\left( {{x}_{0}}-20 \right)}^{2}}+40\Rightarrow x-10=\frac{1}{20}{{\left( y+10-20 \right)}^{2}}+40\).

Suy ra

\(x=\frac{1}{20}{{\left( y-10 \right)}^{2}}+50\ge 50\to x\ge 50\to y=10\pm \sqrt{20x-1000}\).

Khi ấy phần tô xanh (phần in đậm) giới hạn bởi:

\(\left\{ \begin{align} & y=10\pm \sqrt{20x-1000} \\ & x=50,x=80 \\ \end{align} \right.\)

Suy ra diện tích là:

\({{S}_{x}}=\int\limits_{50}^{80}{\left| \sqrt{20x-1000}+10 \right|dx}+\int\limits_{50}^{55}{\left| -\sqrt{20x-1000}+10 \right|dx}\approx 773,231\left( c{{m}^{2}} \right)\).

Do mỗi lọ sơn chỉ sơn tối đa \(30c{{m}^{2}}\) nên lần lượt suy ra:

Số lọ sơn vàng là

\(\frac{{{S}_{v}}}{30}=\frac{{1600}/{3}\;}{30}\approx 17,77\) (lọ) tức cần 18 lọ sơn vàng.

Số lọ sơn xanh là

\(\frac{{{S}_{x}}}{30}=\frac{773,231}{30}\approx 25,77\) (lọ) tức cần 26 lọ sơn xanh.

Vậy số tiền cần dùng là

\(18\times 50,000+26\times 30,000=1,680,000\) (đồng) tức 1,68 triệu đồng.