Cho phương trình \(m\text{sin}x+\left( m-1 \right)\text{cos}2x+5=0\) (trong đó \(m\) là tham số). Số các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình vô nghiệm là (……).

Trả lời:

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

Phương trình đã cho là:

\(m\sin x+(m-1)\cos 2x+5=0\).

Sử dụng công thức \(\cos 2x=1-2{{\sin }^{2}}x\), ta có:

\(\begin{array}{*{35}{l}} {} & m\sin x+(m-1)(1-2{{\sin }^{2}}x)+5 & =0 \\ \Leftrightarrow & m\sin x+m-1-2m{{\sin }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x+5 & =0 \\ \Leftrightarrow & -2(m-1){{\sin }^{2}}x+m\sin x+m+4 & =0 \\\end{array}\)

Đặt \(t=\sin x\), với \(t\in [-1;1]\). Phương trình trở thành:

\(2(m-1){{t}^{2}}-mt-m-4=0\) (1).

v Trường hợp 1: m = 1.

Nếu \(m=1\), phương trình (1) trở thành:

\(-t-5=0\Rightarrow t=-5\).

Vì \(t=-5\notin [-1;1]\), phương trình vô nghiệm khi \(m=1\).

v Trường hợp 2: m ≠ 1.

Nếu \(m\ne 1\), phương trình (1) là phương trình bậc hai.

Để phương trình ban đầu vô nghiệm, phương trình (1) phải không có nghiệm trên đoạn \([-1;1]\).

Xét \(f(t)=2(m-1){{t}^{2}}-mt-m-4=0\).

Để phương trình vô nghiệm trên \([-1,1]\), ta xét các trường hợp sau:

1. Phương trình vô nghiệm: \(\Delta <0\).

\(\Delta ={{m}^{2}}+8(m-1)(m+4)={{m}^{2}}+8({{m}^{2}}+3m-4)=9{{m}^{2}}+24m-32\).

\(\begin{align} & 9{{m}^{2}}+24m-32<0 \\ & \Leftrightarrow \frac{-12-4\sqrt{17}}{9}<m<\frac{-12+4\sqrt{17}}{9} \\ & \Leftrightarrow -3.8<m<1.1 \\ \end{align}\)

Các giá trị nguyên của \(m\) là \(\left\{ -3,-2,-1,0,1 \right\}\).

2. Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm ngoài khoảng \([-1,1]\) khá phức tạp, chúng ta có thể thử các giá trị nguyên của \(m\) trong một khoảng lớn hơn để kiểm tra.

Thử với \(m=-4,-5,2,3\):

\(m=-4\): \(-10{{t}^{2}}+4t=0\), nghiệm là \(t=0,t=2/5\).

Cả hai nghiệm đều nằm trong \([-1,1]\), loại.

\(m=-5\): \(-12{{t}^{2}}+5t+1=0\), có nghiệm trong \([-1,1]\), loại.

\(m=2\): \(2{{t}^{2}}-2t-6=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-t-3=0\), có nghiệm trong \([-1,1]\), loại.

\(m=3\): \(4{{t}^{2}}-3t-7=0\), có nghiệm trong \([-1,1]\), loại.

Tuy nhiên, có một cách tiếp cận khác là xét các trường hợp khi nghiệm của phương trình bậc hai (nếu có) đều nằm ngoài khoảng \([-1,1]\).

Điều này xảy ra khi:

\(f(-1)\) và \(f(1)\) cùng dấu và \(\Delta \ge 0\).

\(f(-1)=2(m-1)+m-m-4=2m-2-4=2m-6\).

\(f(1)=2(m-1)-m-m-4=2m-2-2m-4=-6\).

Để \(f(-1)\) và \(f(1)\) cùng dấu, \(2m-6\) phải âm, tức là:

\(2m-6<0\Leftrightarrow m<3\).

Kết hợp với điều kiện \(\Delta \ge 0\), ta có \(9{{m}^{2}}+24m-32\ge 0\).

Điều này xảy ra khi \(m\le \frac{-12-4\sqrt{17}}{9}\) hoặc \(m\ge \frac{-12+4\sqrt{17}}{9}\).

Vậy \(m\le -3.8\) hoặc \(m\ge 1.1\).

Kết hợp với \(m<3\), ta có các giá trị nguyên của \(m\) là:

\(m=\left\{ 1,2,-4,-5,-6,... \right\}\)

Chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của \(m\) sao cho phương trình vô nghiệm. Các giá trị \(m=-3,-2,-1,0\) không thỏa mãn. Vậy các giá trị nguyên thỏa mãn là 1, 2 và các giá trị nhỏ hơn \(-3\).

Kiểm tra lại với \(m=2\):

\(\begin{align} & 2\sin x+\cos 2x+5=0 \\ & \Leftrightarrow 2\sin x+1-2{{\sin }^{2}}x+5=0 \\ & \Leftrightarrow -2{{\sin }^{2}}x+2\sin x+6=0 \\ & \Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x-\sin x-3=0. \\ \end{align}\)

Phương trình này có nghiệm \(\sin x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}\).

Một nghiệm lớn hơn 1, một nghiệm nhỏ hơn -1, nên phương trình vô nghiệm.

Chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của \(m\) sao cho phương trình vô nghiệm.

Các giá trị \(m=-3,-2,-1,0\) không thỏa mãn.

Vậy các giá trị nguyên thỏa mãn là 1, 2 và các giá trị nhỏ hơn \(-3\).

Các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình vô nghiệm là

\(m=\left\{ 1,2,-4,-5,-6 \right\}\).

Tổng cộng có 6 giá trị.

Vậy số các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình vô nghiệm là 6.