Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thoả mãn \(F\left( 2 \right)=2\) và \(F\left( x \right)=\int \left[ x-f\left( x \right) \right]\text{d}x,\forall x\in \mathbb{R}\). Giá trị của \(F\left( 4 \right)\) bằng:

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=2x+1\) là:

Người ta truyền nhiệt cho một bình nuôi cấy vi sinh vật từ \(1^\circ C\). Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại thời điểm t phút \((0 \leqslant t \leqslant 5)\) được cho bởi hàm số \(f(t) = 3t^2\) (\(^\circ C\)/phút). Biết rằng nhiệt độ của bình đó tại thời điểm t là một nguyên hàm của hàm số \(f(t)\). Tìm nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút kể từ khi truyền nhiệt.

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)\) liên tục trên R, tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.

Cho số thực \(\alpha \ne -1\). Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(y={{x}^{\alpha }}\).

Mặt cắt ngang của một ống dẫn nước nóng là hình vành khuyên như hình vẽ

Bán kính ngoài là \(r~cm\) và bán kính trong là \(2~cm~(r>2)\). Bên trong ống, nhiệt độ nước được duy trì ở mức \({{100}^{\circ }}\text{C}\). Bên trong kim loại, nhiệt độ giảm dần từ bên trong ra bên ngoài. Biết rằng nhiệt độ \(T\left( {{~}^{\circ }}\text{C} \right)\) tại điểm \(A\) trên thành ống là hàm số của khoảng cách \(x\left( \text{cm} \right)\) từ \(A\) đến tâm của mặt cắt và thoả mãn \({T}'\left( x \right)=-\frac{10}{x}\) với \(2\le x\le r\).

Biết \(F\left( x \right)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=2x+\frac{1}{{{x}^{2}}}\) trên khoảng \(\left( 0;+\infty  \right)\).

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \({y = 12x^5}\)?

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=4x+\text{sin}x\) là:

Tìm tất cả nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right)=x-\frac{1}{x}\).

Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}\) là:

Hàm số \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((a ; b)\) nếu:

Trong mỗi ý a), b), c). d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}\) là:

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc \(65\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}/\text{h}\) thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 50 m. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ \(v\left( t \right)=-10t+20\left( \text{ }\!\!~\!\!\text{ m}/\text{s} \right)\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi \(s\left( t \right)\) là quãng đường xe ô tô đi được trong \(t\) giây kể từ lúc đạp phanh. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số

\(f\left( x \right)={{2}^{x}}-\cos x\) trên \(\left[ 0;+\infty  \right)\)

thoả mãn \(F\left( 0 \right)=\frac{2}{\ln 2}\).

Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số \(\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2022}\) ?

Hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(K\) nếu:

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(y={{x}^{5}}\).

Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=4{{x}^{3}}+3x+2\) là:

Hàm số \(F\left( x \right)=\text{sin}2x\) là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?