Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ 
, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu 
tâm 
, đi qua điểm 
?
, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu tâm , đi qua điểm ?
Trả lời:
Đáp án đúng: B
Phương trình mặt cầu có dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, với $(a, b, c)$ là tọa độ tâm và $R$ là bán kính.
Các phương trình đã cho đều có dạng $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + d = 0$, có thể viết lại thành $(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 1 + 4 + 9 - d = 14 - d$.
Để đây là phương trình mặt cầu thì $14 - d > 0$. Tâm của các mặt cầu này là $I(1; -2; 3)$.
Để mặt cầu đi qua điểm $A$, ta cần $IA = R$.
Xét các đáp án:
Các phương trình đã cho đều có dạng $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + d = 0$, có thể viết lại thành $(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 1 + 4 + 9 - d = 14 - d$.
Để đây là phương trình mặt cầu thì $14 - d > 0$. Tâm của các mặt cầu này là $I(1; -2; 3)$.
Để mặt cầu đi qua điểm $A$, ta cần $IA = R$.
Xét các đáp án:
- Đáp án A: $14 - d = 14 - 5 = 9 > 0$. Vậy $R = 3$. Mặt cầu có dạng $(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 9$ hay $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0$. Tuy nhiên ta không có thông tin về điểm A nên không thể kiểm tra được nó có thuộc mặt cầu này không.
- Đáp án B: $14 - d = 14 - (-5) = 19 > 0$. Vậy $R = \sqrt{19}$. Mặt cầu có dạng $(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 19$ hay $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z - 5 = 0$. Tương tự, không có thông tin điểm A
- Đáp án C và D: $14 - d = 14 - 1 = 13 > 0$. Vậy $R = \sqrt{13}$. Mặt cầu có dạng $(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 13$ hay $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 1 = 0$. Tương tự, không có thông tin điểm A
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng:
a) Chi phí sản xuất $x$ mét khối nước tinh khiết là: $y = 3 + 0.5x + 2 = 0.5x + 5$ (triệu đồng). Vậy câu a) đúng.
b) Nếu $x = 10$, thì $y = 0.5(10) + 5 = 5 + 5 = 10$ (triệu đồng). Vậy câu b) sai.
c) Chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm là: $\bar{y} = \frac{y}{x} = \frac{0.5x + 5}{x} = 0.5 + \frac{5}{x}$ (triệu đồng). Vậy câu c) đúng.
d) $\bar{y} = 0.5 + \frac{5}{x}$. Vì $x \le 20$, nên để $\bar{y}$ thấp nhất thì $x$ phải lớn nhất, tức là $x = 20$. Vậy câu d) đúng.
b) Nếu $x = 10$, thì $y = 0.5(10) + 5 = 5 + 5 = 10$ (triệu đồng). Vậy câu b) sai.
c) Chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm là: $\bar{y} = \frac{y}{x} = \frac{0.5x + 5}{x} = 0.5 + \frac{5}{x}$ (triệu đồng). Vậy câu c) đúng.
d) $\bar{y} = 0.5 + \frac{5}{x}$. Vì $x \le 20$, nên để $\bar{y}$ thấp nhất thì $x$ phải lớn nhất, tức là $x = 20$. Vậy câu d) đúng.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta có:
Kiểm tra tính độc lập của A và B:
$P(A) * P(B) = \frac{1}{3} * \frac{2}{5} = \frac{2}{15} \neq \frac{1}{5} = P(A \cap B)$.
Vậy A và B không độc lập, nên đáp án A đúng.
Tính xác suất để công ty thắng thầu đúng 1 dự án:
$P((A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)) = P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = P(A) - P(A \cap B) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{2}{5} - \frac{1}{5} = \frac{5 - 3 + 6 - 3}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \neq \frac{11}{30}$.
Vậy đáp án B sai.
Tính xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1:
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{5}$.
Vậy đáp án C đúng.
Tính xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1:
$P(B|\overline{A}) = \frac{P(\overline{A} \cap B)}{P(\overline{A})} = \frac{P(B) - P(A \cap B)}{1 - P(A)} = \frac{\frac{2}{5} - \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{10} \neq \frac{7}{10}$.
Vậy đáp án D sai.
- $P(A) = \frac{1}{3}$
- $P(B) = \frac{2}{5}$
- $P(A \cap B) = \frac{1}{5}$
Kiểm tra tính độc lập của A và B:
$P(A) * P(B) = \frac{1}{3} * \frac{2}{5} = \frac{2}{15} \neq \frac{1}{5} = P(A \cap B)$.
Vậy A và B không độc lập, nên đáp án A đúng.
Tính xác suất để công ty thắng thầu đúng 1 dự án:
$P((A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)) = P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = P(A) - P(A \cap B) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{2}{5} - \frac{1}{5} = \frac{5 - 3 + 6 - 3}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \neq \frac{11}{30}$.
Vậy đáp án B sai.
Tính xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1:
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{5}$.
Vậy đáp án C đúng.
Tính xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1:
$P(B|\overline{A}) = \frac{P(\overline{A} \cap B)}{P(\overline{A})} = \frac{P(B) - P(A \cap B)}{1 - P(A)} = \frac{\frac{2}{5} - \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{10} \neq \frac{7}{10}$.
Vậy đáp án D sai.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Gọi $t_1$ là thời gian chất điểm M chuyển động từ lúc xuất phát đến lúc gặp nhau.
Thời gian chất điểm N chuyển động từ lúc xuất phát đến lúc gặp nhau là 15s.
Theo đề bài, N xuất phát chậm hơn M 10s, nên: $t_1 = 15 + 10 = 25$ (s)
* Quãng đường chất điểm M đi được đến khi gặp nhau:
$s_1 = \int_{0}^{25} v(t) dt = \int_{0}^{25} (\frac{5}{3}t^2 + \frac{20}{3}t) dt = (\frac{5}{9}t^3 + \frac{10}{3}t^2) \Big|_0^{25} = \frac{5}{9}.25^3 + \frac{10}{3}.25^2 = 5625 (m)$
* Gia tốc của chất điểm N: $a = \alpha = const$, nên $v_N = \alpha t$.
Quãng đường chất điểm N đi được đến khi gặp nhau:
$s_2 = \int_{0}^{15} v_N(t) dt = \int_{0}^{15} \alpha t dt = \frac{1}{2}\alpha t^2 \Big|_0^{15} = \frac{1}{2}. \alpha. 15^2 = \frac{225}{2} \alpha$ (m)
Vì hai chất điểm gặp nhau nên $s_1 = s_2$, suy ra $5625 = \frac{225}{2} \alpha \Rightarrow \alpha = 50 (m/s^2)$
* Vận tốc của chất điểm N tại thời điểm gặp nhau:
$v_N = \alpha t = 50 . 15 = 75 (m/s)$
* Quãng đường chất điểm N đi được đến khi gặp nhau:
$s_2 = \frac{225}{2}.50 = 1687.5 (m)$
* Vận tốc của chất điểm M tại thời điểm gặp nhau:
$v(25) = \frac{5}{3}.25^2 + \frac{20}{3}.25 = 375 (m/s)$
Vậy:
a) $s = 5625 m$; b) $v = 75 m/s$; c) $s = 1687,5 m$; d) $v = 375 m/s$
Thời gian chất điểm N chuyển động từ lúc xuất phát đến lúc gặp nhau là 15s.
Theo đề bài, N xuất phát chậm hơn M 10s, nên: $t_1 = 15 + 10 = 25$ (s)
* Quãng đường chất điểm M đi được đến khi gặp nhau:
$s_1 = \int_{0}^{25} v(t) dt = \int_{0}^{25} (\frac{5}{3}t^2 + \frac{20}{3}t) dt = (\frac{5}{9}t^3 + \frac{10}{3}t^2) \Big|_0^{25} = \frac{5}{9}.25^3 + \frac{10}{3}.25^2 = 5625 (m)$
* Gia tốc của chất điểm N: $a = \alpha = const$, nên $v_N = \alpha t$.
Quãng đường chất điểm N đi được đến khi gặp nhau:
$s_2 = \int_{0}^{15} v_N(t) dt = \int_{0}^{15} \alpha t dt = \frac{1}{2}\alpha t^2 \Big|_0^{15} = \frac{1}{2}. \alpha. 15^2 = \frac{225}{2} \alpha$ (m)
Vì hai chất điểm gặp nhau nên $s_1 = s_2$, suy ra $5625 = \frac{225}{2} \alpha \Rightarrow \alpha = 50 (m/s^2)$
* Vận tốc của chất điểm N tại thời điểm gặp nhau:
$v_N = \alpha t = 50 . 15 = 75 (m/s)$
* Quãng đường chất điểm N đi được đến khi gặp nhau:
$s_2 = \frac{225}{2}.50 = 1687.5 (m)$
* Vận tốc của chất điểm M tại thời điểm gặp nhau:
$v(25) = \frac{5}{3}.25^2 + \frac{20}{3}.25 = 375 (m/s)$
Vậy:
a) $s = 5625 m$; b) $v = 75 m/s$; c) $s = 1687,5 m$; d) $v = 375 m/s$
Lời giải:
Đáp án đúng:
Gọi $H$ là hình chiếu của $A(80;100;0)$ trên đường thẳng $\Delta$. Khi đó $AH$ là khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $\Delta$.
Ta có phương trình tham số của $\Delta$ là $x = 80 + 4t, y = 100 - 3t, z = t$.
Khi đó $H(80+4t; 100-3t; t)$.
$\overrightarrow{AH} = (4t; -3t; t)$.
Vì $AH \perp \Delta$ nên $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u_{\Delta}} = 0$, với $\overrightarrow{u_{\Delta}} = (4; -3; 1)$.
$\Rightarrow 4(4t) - 3(-3t) + t = 0 \Leftrightarrow 16t + 9t + t = 0 \Leftrightarrow 26t = 0 \Leftrightarrow t = 0$.
$\Rightarrow H(80; 100; 0)$.
Vậy $AH = \sqrt{80^2 + 100^2} = 20\sqrt{41} \approx 128,06$ km.
Ta thấy $AH < 600$ nên máy bay luôn nhận được tín hiệu từ đài kiểm soát không lưu.
Gọi $B$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = 600^2$.
Khi đó $(80+4t)^2 + (100-3t)^2 + t^2 = 600^2 \Leftrightarrow 16t^2 + 640t + 6400 + 9t^2 - 600t + 10000 + t^2 = 36000 \Leftrightarrow 26t^2 + 40t - 19600 = 0$.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{-20 + 20\sqrt{1275}}{13} \approx 26,92 \\ t = \dfrac{-20 - 20\sqrt{1275}}{13} \approx -28,46\end{array} \right.$
Với $t = \dfrac{-20 + 20\sqrt{1275}}{13} \approx 26,92 > 0$ (loại).
Với $t = \dfrac{-20 - 20\sqrt{1275}}{13} \approx -28,46 < 0$ (nhận).
Khi đó, tọa độ giao điểm là $B(80 + 4.(-28,46); 100 - 3.(-28,46); -28,46) \approx B(-33,84; 185,38; -28,46)$.
Ta có $AB = \sqrt{(80 - (-33,84))^2 + (100 - 185,38)^2 + (0 - (-28,46))^2} \approx 141,51$ km.
Vậy quãng đường mà máy bay nhận tín hiệu từ đài kiểm soát không lưu là 141,51 km (khác $600\sqrt{2}$).
Xét đáp án C:
Ta có $AH = \sqrt{(80-0)^2 + (100-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{80^2 + 100^2} \approx 128,06$ km.
Suy ra khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là 128,06 km (khác $20\sqrt{1154}$).
Ta có phương trình tham số của $\Delta$ là $x = 80 + 4t, y = 100 - 3t, z = t$.
Khi đó $H(80+4t; 100-3t; t)$.
$\overrightarrow{AH} = (4t; -3t; t)$.
Vì $AH \perp \Delta$ nên $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u_{\Delta}} = 0$, với $\overrightarrow{u_{\Delta}} = (4; -3; 1)$.
$\Rightarrow 4(4t) - 3(-3t) + t = 0 \Leftrightarrow 16t + 9t + t = 0 \Leftrightarrow 26t = 0 \Leftrightarrow t = 0$.
$\Rightarrow H(80; 100; 0)$.
Vậy $AH = \sqrt{80^2 + 100^2} = 20\sqrt{41} \approx 128,06$ km.
Ta thấy $AH < 600$ nên máy bay luôn nhận được tín hiệu từ đài kiểm soát không lưu.
Gọi $B$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = 600^2$.
Khi đó $(80+4t)^2 + (100-3t)^2 + t^2 = 600^2 \Leftrightarrow 16t^2 + 640t + 6400 + 9t^2 - 600t + 10000 + t^2 = 36000 \Leftrightarrow 26t^2 + 40t - 19600 = 0$.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{-20 + 20\sqrt{1275}}{13} \approx 26,92 \\ t = \dfrac{-20 - 20\sqrt{1275}}{13} \approx -28,46\end{array} \right.$
Với $t = \dfrac{-20 + 20\sqrt{1275}}{13} \approx 26,92 > 0$ (loại).
Với $t = \dfrac{-20 - 20\sqrt{1275}}{13} \approx -28,46 < 0$ (nhận).
Khi đó, tọa độ giao điểm là $B(80 + 4.(-28,46); 100 - 3.(-28,46); -28,46) \approx B(-33,84; 185,38; -28,46)$.
Ta có $AB = \sqrt{(80 - (-33,84))^2 + (100 - 185,38)^2 + (0 - (-28,46))^2} \approx 141,51$ km.
Vậy quãng đường mà máy bay nhận tín hiệu từ đài kiểm soát không lưu là 141,51 km (khác $600\sqrt{2}$).
Xét đáp án C:
Ta có $AH = \sqrt{(80-0)^2 + (100-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{80^2 + 100^2} \approx 128,06$ km.
Suy ra khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là 128,06 km (khác $20\sqrt{1154}$).
Lời giải:
Đáp án đúng:
Gọi $t$ là thời gian (giờ) kể từ khi hai tàu khởi hành.
Sau thời gian $t$, tàu $A$ đi được quãng đường $5t$ hải lí theo hướng Nam.
Sau thời gian $t$, tàu $B$ đi được quãng đường $7t$ hải lí hướng về vị trí ban đầu của tàu $A$.
Ta cần tìm khoảng cách giữa hai tàu sau thời gian $t$. Để đơn giản, ta xét hệ tọa độ Oxy với gốc O là vị trí ban đầu của tàu $A$, trục Ox hướng từ $A$ đến $B$, trục Oy hướng về phía Nam.
Khi đó, tọa độ của tàu $A$ sau thời gian $t$ là $(0; 5t)$.
Tọa độ của tàu $B$ sau thời gian $t$ là $(6 - 7t\cdot \frac{6}{\sqrt{(6)^2 + (5t)^2}}; -7t \cdot \frac{5t}{\sqrt{(6)^2 + (5t)^2}})$.
Bình phương khoảng cách $d^2$ giữa hai tàu là:
$d^2 = (6 - 7t\cos\alpha)^2 + (5t + 7t\sin\alpha)^2 = (6 - 7t\cdot \frac{6}{\sqrt{36 + 25t^2}})^2 + (5t - 7t\cdot \frac{5t}{\sqrt{36 + 25t^2}})^2$, trong đó $\cos \alpha = \frac{6}{\sqrt{36 + 25t^2}}$ và $\sin \alpha = \frac{5t}{\sqrt{36 + 25t^2}}$
Bài toán trở thành tìm $t$ để $d$ đạt min
Cách 1: Sử dụng hình học giải tích, gọi điểm $A_0, B_0$ là vị trí ban đầu của tàu A và B. Sau thời gian t, A đến $A_t$, B đến $B_t$. Khi đó $A_0A_t = 5t$, $B_0B_t = 7t$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của $B_t$ lên $A_0A_t$. Khoảng cách $d = A_tB_t = \sqrt{A_tH^2 + B_tH^2}$. Bài toán trở thành min $d$.
Cách 2: Sử dụng định lý hàm cosin. $d^2 = (5t)^2 + (7t)^2 - 2*5t*7t*cos(\alpha)$. Trong đó $\alpha$ là góc $A_tA_0B_t$.
Tuy nhiên, do đây là phần trắc nghiệm trả lời ngắn, và không có đáp án để so sánh nên không thể xác định đáp án chính xác mà không có thêm thông tin.
Sau thời gian $t$, tàu $A$ đi được quãng đường $5t$ hải lí theo hướng Nam.
Sau thời gian $t$, tàu $B$ đi được quãng đường $7t$ hải lí hướng về vị trí ban đầu của tàu $A$.
Ta cần tìm khoảng cách giữa hai tàu sau thời gian $t$. Để đơn giản, ta xét hệ tọa độ Oxy với gốc O là vị trí ban đầu của tàu $A$, trục Ox hướng từ $A$ đến $B$, trục Oy hướng về phía Nam.
Khi đó, tọa độ của tàu $A$ sau thời gian $t$ là $(0; 5t)$.
Tọa độ của tàu $B$ sau thời gian $t$ là $(6 - 7t\cdot \frac{6}{\sqrt{(6)^2 + (5t)^2}}; -7t \cdot \frac{5t}{\sqrt{(6)^2 + (5t)^2}})$.
Bình phương khoảng cách $d^2$ giữa hai tàu là:
$d^2 = (6 - 7t\cos\alpha)^2 + (5t + 7t\sin\alpha)^2 = (6 - 7t\cdot \frac{6}{\sqrt{36 + 25t^2}})^2 + (5t - 7t\cdot \frac{5t}{\sqrt{36 + 25t^2}})^2$, trong đó $\cos \alpha = \frac{6}{\sqrt{36 + 25t^2}}$ và $\sin \alpha = \frac{5t}{\sqrt{36 + 25t^2}}$
Bài toán trở thành tìm $t$ để $d$ đạt min
Cách 1: Sử dụng hình học giải tích, gọi điểm $A_0, B_0$ là vị trí ban đầu của tàu A và B. Sau thời gian t, A đến $A_t$, B đến $B_t$. Khi đó $A_0A_t = 5t$, $B_0B_t = 7t$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của $B_t$ lên $A_0A_t$. Khoảng cách $d = A_tB_t = \sqrt{A_tH^2 + B_tH^2}$. Bài toán trở thành min $d$.
Cách 2: Sử dụng định lý hàm cosin. $d^2 = (5t)^2 + (7t)^2 - 2*5t*7t*cos(\alpha)$. Trong đó $\alpha$ là góc $A_tA_0B_t$.
Tuy nhiên, do đây là phần trắc nghiệm trả lời ngắn, và không có đáp án để so sánh nên không thể xác định đáp án chính xác mà không có thêm thông tin.
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – I-Learn Smart World – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – Global Success – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Chân Trời Sáng Tạo – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Công Nghệ 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026
