Câu hỏi:

Gọi $H$ là hình chiếu của $A(80;100;0)$ trên đường thẳng $\Delta$. Khi đó $AH$ là khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $\Delta$. Ta có phương trình tham số của $\Delta$ là $x = 80 + 4t, y = 100 - 3t, z = t$. Khi đó $H(80+4t; 100-3t; t)$. $\overrightarrow{AH} = (4t; -3t; t)$. Vì $AH \perp \Delta$ nên $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u_{\Delta}} = 0$, với $\overrightarrow{u_{\Delta}} = (4; -3; 1)$. $\Rightarrow 4(4t) - 3(-3t) + t = 0 \Leftrightarrow 16t + 9t + t = 0 \Leftrightarrow 26t = 0 \Leftrightarrow t = 0$. $\Rightarrow H(80; 100; 0)$. Vậy $AH = \sqrt{80^2 + 100^2} = 20\sqrt{41} \approx 128,06$ km. Ta thấy $AH < 600$ nên máy bay luôn nhận được tín hiệu từ đài kiểm soát không lưu. Gọi $B$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = 600^2$. Khi đó $(80+4t)^2 + (100-3t)^2 + t^2 = 600^2 \Leftrightarrow 16t^2 + 640t + 6400 + 9t^2 - 600t + 10000 + t^2 = 36000 \Leftrightarrow 26t^2 + 40t - 19600 = 0$. $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{-20 + 20\sqrt{1275}}{13} \approx 26,92 \\ t = \dfrac{-20 - 20\sqrt{1275}}{13} \approx -28,46\end{array} \right.$ Với $t = \dfrac{-20 + 20\sqrt{1275}}{13} \approx 26,92 > 0$ (loại). Với $t = \dfrac{-20 - 20\sqrt{1275}}{13} \approx -28,46 < 0$ (nhận). Khi đó, tọa độ giao điểm là $B(80 + 4.(-28,46); 100 - 3.(-28,46); -28,46) \approx B(-33,84; 185,38; -28,46)$. Ta có $AB = \sqrt{(80 - (-33,84))^2 + (100 - 185,38)^2 + (0 - (-28,46))^2} \approx 141,51$ km. Vậy quãng đường mà máy bay nhận tín hiệu từ đài kiểm soát không lưu là 141,51 km (khác $600\sqrt{2}$). Xét đáp án C: Ta có $AH = \sqrt{(80-0)^2 + (100-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{80^2 + 100^2} \approx 128,06$ km. Suy ra khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là 128,06 km (khác $20\sqrt{1154}$).