Câu hỏi:

Để giải bài toán này, ta cần biết diện tích của hình chữ nhật và phần cung parabol. Tuy nhiên, dữ liệu đề bài không đủ để tính toán diện tích cụ thể. Bài toán có vẻ thiếu thông tin hoặc cần thêm giả thiết để giải quyết.

Gọi $M(x;y;z)$ là vị trí của máy bay.
Vì máy bay bay thẳng nên $M$ thuộc đường thẳng $AB$.
Ta có $\overrightarrow{AB} = (4; 4; -3)$.
Đường thẳng $AB$ có phương trình tham số:
$\begin{cases}x = 2 + 4t \ y = 1 + 4t \ z = 3 - 3t\end{cases}$
Khi đó $M(2 + 4t; 1 + 4t; 3 - 3t)$.
Ta có $\overrightarrow{OM} = (2 + 4t; 1 + 4t; 3 - 3t)$.
Máy bay gần đài kiểm soát nhất khi $OM$ ngắn nhất, tức là $\overrightarrow{OM} \perp \overrightarrow{AB}$.
Suy ra $\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$.
$\Leftrightarrow 4(2 + 4t) + 4(1 + 4t) - 3(3 - 3t) = 0$
$\Leftrightarrow 8 + 16t + 4 + 16t - 9 + 9t = 0$
$\Leftrightarrow 41t + 3 = 0$
$\Leftrightarrow t = -\frac{3}{41}$.
Vậy $M(\frac{70}{41}; \frac{29}{41}; \frac{132}{41})$.
Do đó $T = x + y + z = \frac{70}{41} + \frac{29}{41} + \frac{132}{41} = \frac{231}{41} \approx 5.63 \approx 6$.
Vậy đáp án là $6$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $CD$. Khi đó $AH \perp CD$.

Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với tâm của hình thoi $ABCD$.

Gọi $K$ là hình chiếu của $A$ lên $SH$. Khi đó $AK \perp (SCD)$.

Ta có $AH = a\sin{60^\circ} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$, ta có $SA = \sqrt{SC^2 - AC^2} = \sqrt{(a\sqrt{5})^2 - a^2} = 2a$.

$\frac{1}{AK^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AH^2} = \frac{1}{4a^2} + \frac{4}{3a^2} = \frac{19}{12a^2}$.

$\Rightarrow AK = a\sqrt{\frac{12}{19}} = \frac{a\sqrt{15}}{5} \Rightarrow \frac{12}{19} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{3}{5}$ (vô lý)

Ta có $d(A, (SCD)) = \frac{a\sqrt{15}}{5}$

Gọi $O$ là tâm hình thoi. Vì các cạnh bên bằng nhau nên $SO \perp (ABCD)$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $CD$. Suy ra $CD \perp (SOH)$.

Kẻ $OK \perp SH$. Suy ra $OK \perp (SCD)$.

Ta có $d(A,(SCD)) = 2d(O,(SCD)) = 2OK = \frac{a\sqrt{15}}{5} \Rightarrow OK = \frac{a\sqrt{15}}{10}$.

Ta có $OH = \frac{1}{2}AH = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.

$\frac{1}{SO^2} = \frac{1}{OK^2} - \frac{1}{OH^2} = \frac{100}{15a^2} - \frac{16}{3a^2} = \frac{100 - 80}{15a^2} = \frac{20}{15a^2} = \frac{4}{3a^2}$.

$\Rightarrow SO = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vậy $SO^2 + OA^2 = SA^2 \Rightarrow \frac{3a^2}{4} + OA^2 = 5a^2 \Rightarrow OA^2 = \frac{17a^2}{4} \Rightarrow OA = \frac{a\sqrt{17}}{2}$.

Vì $O$ là tâm hình thoi nên $OA = \frac{AC}{2} \Rightarrow AC = a\sqrt{17}$.

$S_{ABCD} = \frac{1}{2}AC.BD \Rightarrow BD = \frac{2S_{ABCD}}{AC} = \frac{2a^2\sin{60^\circ}}{a\sqrt{17}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{a\sqrt{17}} = a\sqrt{\frac{3}{17}}$.

Vậy thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3}SO.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a^2.\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3}{4}$.

Gọi A là biến cố trang web chứa mã độc, B là biến cố BLOK bật cảnh báo.
Ta có:
* $P(B|A) = 0.99$
* $P(B|\overline{A}) = 0.001$
* $P(A|B) = \frac{9}{10}$
Ta cần tính $P(A)$.
Áp dụng công thức Bayes:
$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
$\Rightarrow P(B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(A|B)}$
Mặt khác, $P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\overline{A})P(\overline{A}) = P(B|A)P(A) + P(B|\overline{A})(1-P(A))$
Do đó, ta có:
$\frac{P(B|A)P(A)}{P(A|B)} = P(B|A)P(A) + P(B|\overline{A})(1-P(A))$
$\frac{0.99 \cdot P(A)}{0.9} = 0.99 \cdot P(A) + 0.001(1-P(A))$
$\frac{11}{10} P(A) = 0.99 P(A) + 0.001 - 0.001P(A)$
$1.1 P(A) = 0.99 P(A) + 0.001 - 0.001P(A)$
$1.1 P(A) - 0.99 P(A) + 0.001P(A) = 0.001$
$0.111 P(A) = 0.001$
$P(A) = \frac{0.001}{0.111} = \frac{1}{111}$
Vậy $a = 1, b = 111$. Do đó $a+b = 1+111=112$.

Có tổng cộng $8 imes 2 = 16$ người.

Nếu mỗi người bắt tay với tất cả những người còn lại, số cái bắt tay sẽ là $C_{16}^2 = \frac{16 imes 15}{2} = 120$.

Tuy nhiên, mỗi người không bắt tay với vợ/chồng của mình. Vì có 8 cặp vợ chồng, nên có 8 cái bắt tay không xảy ra.

Vậy số cái bắt tay thực tế là $120 - 8 = 112$.