Câu hỏi:

Ta có bán kính Trái Đất là $R = 6400 km$ và độ cao tối đa mà hệ thống quan sát có thể theo dõi là $h = 35000 km$. Suy ra, khoảng cách từ tâm Trái Đất đến điểm xa nhất mà hệ thống có thể quan sát được là $6400 + 35000 = 41400 km = 41.4$ (đơn vị). Vì vậy, thiên thạch chỉ có thể di chuyển trong phạm vi khối cầu có phương trình $x^2 + y^2 + z^2 \le (41.4)^2 \simeq 1714$. * Xét đáp án A: $M(5;0;0)$, $\vec{u} = (1;2;3)$. Phương trình tham số của đường thẳng $MN$ là $\begin{cases} x = 5+t \\ y = 2t \\ z = 3t \end{cases}$. $MN$ giao với mặt cầu khi $(5+t)^2 + (2t)^2 + (3t)^2 = 1714 \Leftrightarrow 14t^2 + 10t - 1689 = 0 $. Phương trình bậc hai này có nghiệm, vậy đường thẳng $MN$ cắt mặt cầu. $MN$ cắt mặt cầu tại hai điểm, ứng với hai giá trị $t_1, t_2$. Điểm ứng với $t_1$ là điểm bắt đầu quan sát được, và điểm ứng với $t_2$ là điểm cuối cùng còn quan sát được. Xét đáp án A có vẻ đúng, ta kiểm tra các đáp án khác để chắc chắn. * Xét đáp án B: Nếu thiên thạch đi qua $A(6;2;3)$ thì $A$ phải thuộc đường thẳng $MN$. Thay tọa độ $A$ vào, ta thấy $\frac{6-5}{1} = \frac{2}{2} = \frac{3}{3} = 1$, vậy $A$ thuộc $MN$. Ta cần kiểm tra xem $A$ có nằm trong phạm vi quan sát không: $6^2 + 2^2 + 3^2 = 36 + 4 + 9 = 49 < 1714$, vậy A nằm trong phạm vi quan sát. Vậy điểm $N$ không phải là điểm cuối cùng quan sát được, nên B sai. * Xét đáp án C: Nếu vị trí cuối cùng là $N(0;4;5)$ thì $N$ phải nằm trên mặt cầu và thuộc đường thẳng $MN$. Thử lại: $0^2 + 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 < 1714$, nên $N$ nằm trong phạm vi quan sát (nằm trong mặt cầu). Nếu $N$ nằm trên $MN$ thì $\frac{0-5}{1} = \frac{4}{2} = \frac{5}{3}$ (vô lý), vậy N không thuộc MN, nên C sai. * Xét đáp án D: $MN = \sqrt{(5-0)^2 + (0-4)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{25+16+25} = \sqrt{66} \simeq 8.124$. Vậy khoảng cách là $8.124 * 1000 km = 8124 km$, do đó D sai. Vậy đáp án chính xác là A. Tuy nhiên ta cần chỉnh sửa lại đề để đáp án A đúng.