Câu hỏi:

Ta có: \(\overrightarrow{n_P}=(2 ;-1; 2); \overrightarrow{n_Q}=(1; m; 1)\)

Để hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) vuông góc với nhau thì \(\overrightarrow{n_P} \perp \overrightarrow{n_Q}\).

\(\Leftrightarrow 2.1-1 . m+2.1=0 \Leftrightarrow m=4.\)

Gọi I, K, H lần lượt là trung điểm các cạnh DC, DB, AB.

Khi đó: \(K H / / A D, K I / / B C \Rightarrow(A D ; B C)=(K H ; K I)\).

Xét \(\Delta BIC,BI=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}\).

Ta có \(\left\{\begin{array}{l}A B \perp D H \\ A B \perp H C\end{array} \Rightarrow A B \perp(D H C) \Rightarrow A B \perp H I\right.\).

Xét \(\Delta B I H, H I=\sqrt{I B^2-H B^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{4}}=\frac{a}{2}\). (1)

Xét \(\Delta IHK\), ta có: \(\left\{\begin{array}{l}I K=\frac{B C}{2}=\frac{a}{2} \\ H K=\frac{A D}{2}=\frac{a}{2}\end{array} \Rightarrow I K=H K=\frac{a}{2}\right.\). (2)

Từ \((1),(2) \Rightarrow H I=I K=H K \Rightarrow \Delta I H K\) là tam giác đều \(\Rightarrow \widehat{I K H}=60^{\circ} \Rightarrow(K H ; K I)=60^{\circ}\).

Ta có \(\overrightarrow{u_{O x}}=\vec{i}=(1 ; 0 ; 0)\).

Vì \((P)\bot Ox\) nên \(\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\overrightarrow{{{u}_{Ox}}}=(1;0;0)\text{. }\)

Phương trình mặt phẳng đi qua \(N(3 ;-2 ; 6)\) và vuông góc với trục Ox có phương trình là:

\(x-3=0\Leftrightarrow x=3.\)

Xác suất để học sinh trả lời đúng 1 câu là \(\frac{1}{4}\) và trả lời sai 1 câu là \(\frac{3}{4}\).

Gọi \(x\) là số câu trả lời đúng \(\Rightarrow 10-x\) là số câu trả lời sai.

Số điểm học sinh đạt được là: \(5 x-2 .(10-x)=7 x-20\)

Học sinh nhận được điểm dưới 1 khi \(7 x-20<1 \Leftrightarrow x<3\)

Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in\{0 ; 1 ; 2\}\)

Gọi \(A_i(i=0,1,2)\) là biến cố: "Học sinh trả lời đúng \(i\) câu"

\(A\) là biến cố "Học sinh nhận điểm dưới 1"

Suy ra \(A=A_0 \cup A_1 \cup A_2\) và \(P(A)=P\left(A_0\right)+P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)\)

Mà \(P\left( {{A}_{i}} \right)=C_{10}^{i}.{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{i}}.{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{10-i}}\) nên \(P(A)=\sum\limits_{i=0,}^{2}{C_{10}^{i}}.{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{i}}.{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{10-i}}=0,5256\)

Ta có \(g(x)=f\left(-2 x^2+|x|\right)=f\left(-2|x|^2+|x|\right)\). Số điểm cực trị của hàm số \(h(|x|)\) bằng hai lần số điểm cực trị dương của hàm số \(h(x)\) cộng thêm 1 .

Xét hàm số

\(h(x)=f\left(-2 x^2+x\right) \Rightarrow h^{\prime}(x)=(-4 x+1) f^{\prime}\left(-2 x^2+x\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{4} \\-2 x^2+x=-1 \\-2 x^2+x=1\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{4} \\x=1 \\x=\frac{-1}{2}\end{array}\right.\)

Bảng xét dấu hàm số \(h(x)=f\left( -2{{x}^{2}}+x \right)\):

Hàm số \(h(x)=f\left( -2{{x}^{2}}+x \right)\) có 2 điểm cực trị dương.

Vậy hàm số \(g(x)=f\left(-2 x^2+|x|\right)=f\left(-2|x|^2+|x|\right)\) có 5 điểm cực trị.