Câu hỏi:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\Rightarrow MO//SB\).

\(\Rightarrow d(SB,AC)=d(SB,(MAC))=d(B,(MAC))\).

Ta có:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   d(B,(MAC))\cdot {{S}_{MAC}} & =d(M,ABCD)\cdot {{S}_{ABC}}  \\   {} & =\frac{1}{2}SH\cdot \frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}  \\   {} & =\frac{1}{4}\cdot 2a\cdot a\cdot a\sqrt{3}  \\   {} & =\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}.  \\\end{array}\)

\(\Rightarrow d(B,(MAC))=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2.{{S}_{MAC}}}\).

Ta có: \(DH=2HA=\frac{2}{3}AD=\frac{2\sqrt{3}}{3}a\).

\((SD,(ABCD))=(SD,HD)=\widehat{SDH}={{60}^{{}^\circ }}\)

\(\Rightarrow SH=HD\cdot \tan {{60}^{{}^\circ }}=2a\)

\(\Rightarrow SD=\sqrt{H{{D}^{2}}+S{{H}^{2}}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}a\).

\(\Rightarrow MD=\frac{1}{2}SD=\frac{2\sqrt{3}}{3}a\).

Do \(CD\bot AD,CD\bot SD\Rightarrow CD\bot (SAD)\Rightarrow CD\bot SD\).

\(\Rightarrow MC=\sqrt{C{{D}^{2}}+M{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{2\sqrt{3}}{3}a \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{21}}{3}a\);

\(MA=\sqrt{M{{D}^{2}}+A{{D}^{2}}-2MD\cdot AD\cdot \cos {{60}^{{}^\circ }}}=\frac{\sqrt{21}}{3}a\);

\(AC=\sqrt{A{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}}=2a\).

\(\Rightarrow p=\frac{MA+MC+AC}{2}\).

\(\Rightarrow {{S}_{MAC}}=\sqrt{p(p-MA)(p-MC)(p-AC)}=\frac{2\sqrt{3}}{3}{{a}^{2}}\).

Thay (1) suy ra \(\Rightarrow d(B,(MAC))=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2\cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}{{a}^{2}}}=\frac{3}{4}a\).

Phương pháp giải

Đưa về tích phân của các hàm cơ bản.

Lời giải

\({{(2\tan x+\cot x)}^{2}}=4{{\tan }^{2}}x+4\tan x\cot x+{{\cot }^{2}}x=\frac{4}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}-1\).

\(\begin{array}{*{35}{l}}   \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}{{{(2\tan x+\cot x)}^{2}}}dx & =\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}{\left( \frac{4}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}-1 \right)}dx  \\   {} & =\left. (4\tan x-\cot x-x) \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}  \\   {} & =\left( 3-\frac{\pi }{4} \right)-\left( \frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\pi }{6} \right)  \\   {} & =3-\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}-\frac{1}{12}\pi .  \\\end{array}\)

\(\Rightarrow a+b+c=3-\frac{1}{3}-\frac{1}{12}=\frac{31}{12}\).

Phương pháp giải

Dùng quan hệ song song xác định điểm I từ đó tính tỉ lệ bằng Thales

Lời giải

Từ \(P\) kẻ \(PK//BC\) cắt DC tại \(K\) trong (ABCD).

Trong (SCD) kẻ \(KI//SC,I\in SD\Rightarrow PI//(SBC)\).

Ta có: \(\frac{SI}{ID}=\frac{CK}{KD}=\frac{BP}{PD}=3\).

Phương pháp giải

Gọi tọa độ điểm \(I\) theo tham số. Lập phương trình \(IA=IB\) từ đó tìm \(I\) và bán kính.

Lời giải

\(\begin{align}  & I\in d:2x-y-5=0\Rightarrow I(2a-5,a) \\  & I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}} \\  & \Leftrightarrow {{(2a-5-1)}^{2}}+{{(a-2)}^{2}}={{(2a-5-4)}^{2}}+{{(a-1)}^{2}} \\  & \Leftrightarrow 4{{a}^{2}}-24a+36+{{a}^{2}}-4a+4=4{{a}^{2}}-36a+81+{{a}^{2}}-2a+1 \\  & \Leftrightarrow a=1 \\  & \Rightarrow I(1,-3) \\  & \Rightarrow R=IA=5. \\ \end{align}\)

Phương pháp giải

Gọi tọa độ điểm \(M\) theo tham số. Lập phương trình \(\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0\) để tìm \(M\).

Lời giải

Do \(M\) thuộc tia \(Ox\).

\(\Rightarrow M(a,0,0)\) với \(a>0\).

\(\overrightarrow{MA}(-a,-1,-1)\), \(\overrightarrow{MB}(-1-a,2,4)\).

\(\Rightarrow \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=-a(-1-a)-2-4=0\).

\(\Leftrightarrow {{a}^{2}}+a-6=0\).

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   a=2(TM)  \\   a=-3(KTM)  \\\end{array} \right.\)

Vậy hoành độ điểm \(M\) là 2.