Câu hỏi:

Ta có trung điểm BD là \(I(-1 ;-2 ; 4), B D=12\) và điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \((O x y)\) nên \(A(a ; b ; 0)\).

ABCD là hình vuông \(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}A B^2=A D^2 \\ A I^2=\left(\frac{1}{2} B D\right)^2\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{(a-3)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{8}^{2}}={{(a+5)}^{2}}+{{(b+4)}^{2}}  \\   {{(a+1)}^{2}}+{{(b+2)}^{2}}+{{4}^{2}}=36  \\\end{array} \right.\) 

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   b=4-2a  \\   {{(a+1)}^{2}}+{{(6-2a)}^{2}}=20  \\\end{array} \right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=2\end{array}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{array}{l}a=\frac{17}{5} \\ b=\frac{-14}{5}\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   \text{A}(1;2;0)  \\   A\left( \frac{17}{5};\frac{-14}{5};0 \right)\,\, \text{Loại}  \\\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow A(1 ; 2 ; 0) \Rightarrow C(-3 ;-6 ; 8) \Rightarrow \overrightarrow{C A}=(4 ; 8 ;-8) ; \overrightarrow{C B}=(6 ; 6 ; 0)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B}=(10 ; 14 ;-8) \Rightarrow|\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B}|=6 \sqrt{10}\)

\({{y}^{\prime }}={{f}^{\prime }}(x)-{{f}^{\prime }}(-x)>0\,\,\forall x\in (1;5)\)

Đặt \(x=-t\Rightarrow t\in (-5;-1)\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow {{f}^{\prime }}(-t)-{{f}^{\prime }}(t)>0\,\,\forall t(-5;-1) \\  & \Leftrightarrow {{f}^{\prime }}(t)-{{f}^{\prime }}(-t)<0\,\,\,\forall t(-5;-1) \\  & \Leftrightarrow {{f}^{\prime }}(x)-{{f}^{\prime }}(-x)<0\,\,\forall x(-5;-1) \\ \end{align}\)

Vậy hàm số \(y=f(x)+f(-x)\) nghịch biến trên \((-3 ;-1)\).

\({{f}^{\prime }}(x)=2(x-2)(x+1)+{{(x-2)}^{2}}=2{{x}^{2}}-2x-4+{{x}^{2}}-4x+4=3{{x}^{2}}-6x\) 

\({{f}^{\prime }}(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=0\Rightarrow y=4  \\   x=2\Rightarrow y=0  \\\end{array} \right.\)

⇒ Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là \(\sqrt{{{(0-2)}^{2}}+{{(4-0)}^{2}}}=2\sqrt{5}\).

Do \(-1\le \sin \frac{\pi }{12}(t-9)\le 1,\forall t\) nên 

\(\begin{align}  & -3\le 3\sin \frac{\pi }{12}(t-9)\le 3 \\  & \Leftrightarrow 26\le 29+3\sin \frac{\pi }{12}(t-9)\le 32 \\  & \Leftrightarrow 26\le h(t)\le 32 \\ \end{align}\)

Do đó nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(32^{\circ} \mathrm{C}\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow \sin \frac{\pi}{12}(t-9)=1 \Leftrightarrow \frac{\pi}{12}(t-9)=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \Leftrightarrow t=15+24 k(k \in \mathbb{Z})\)

Do \(0 \leq t \leq 24 \Leftrightarrow 0 \leq 15+24 k \leq 24 \Leftrightarrow-\frac{15}{24} \leq k \leq \frac{9}{24}\). Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k=0\).

Khi đó \(t=15\).

Vậy lúc 15 giờ là thời gian nhiệt độ cao nhất trong ngày.

Ta có: \(2 f(x)-11=0 \Leftrightarrow f(x)=\frac{11}{2}\)

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) và đường thẳng \(y=\frac{11}{2}\).

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số \(y=f(x)\) cắt đường thẳng \(y=\frac{11}{2}\) tại 2 điểm phân biệt.

Vậy phương trình \(2 f(x)-11=0\) có 2 nghiệm phân biệt.