You are considering investing \$1,000 in a T-bill that pays 0.05 and a risky portfolio, P, constructed with two risky securities, X and Y. The weights of X and Y in P are 0.60 and 0.40, respectively. X has an expected rate of return of 0.14 and variance of 0.01, and Y has an expected rate of return of 0.10 and a variance of 0.0081.
What would be the dollar value of your positions in X, Y, and the T-bills, respectively, if you decide to hold a portfolio that has an expected outcome of \$1,120?
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định tỷ lệ phân bổ vốn vào T-bill và portfolio P sao cho đạt được kỳ vọng lợi nhuận là $1,120 từ khoản đầu tư $1,000. Điều này có nghĩa là lợi nhuận kỳ vọng là $120, tương đương tỷ suất sinh lợi kỳ vọng là 12% (120/1000 = 0.12). Gọi w là tỷ trọng đầu tư vào portfolio P, và (1-w) là tỷ trọng đầu tư vào T-bill.
Tỷ suất sinh lợi kỳ vọng của portfolio P (Rp) được tính như sau:
Rp = (0.60 * 0.14) + (0.40 * 0.10) = 0.084 + 0.04 = 0.124
Tỷ suất sinh lợi kỳ vọng của toàn bộ danh mục đầu tư là:
E(R) = w * Rp + (1-w) * Rt
Trong đó Rt là tỷ suất sinh lợi của T-bill (0.05).
Ta có: 0.12 = w * 0.124 + (1-w) * 0.05
0.12 = 0.124w + 0.05 - 0.05w
0.07 = 0.074w
w = 0.07 / 0.074 ≈ 0.9459
Vậy, tỷ lệ đầu tư vào T-bill là 1 - 0.9459 ≈ 0.0541
Giá trị đầu tư vào T-bill là: 0.0541 * $1,000 = $54.1 ≈ $54
Giá trị đầu tư vào portfolio P là: 0.9459 * $1,000 = $945.9
Giá trị đầu tư vào X là: 0.60 * $945.9 ≈ $567.54 ≈ $568
Giá trị đầu tư vào Y là: 0.40 * $945.9 ≈ $378.36 ≈ $378
Vậy, giá trị đầu tư vào X, Y và T-bills lần lượt là $568, $378 và $54.