Xét kết cấu dầm có các thông số E, I, L như Hình 2.
.png)
Với lực phân bố q(x) trên dầm thì vector tải nút tương đương như sau:\[ \begin{Bmatrix} R_{1} \\ M_{1} \\ R_{2} \\ M_{2} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} -\dfrac{3qL}{20} \\ -\dfrac{qL^{2}}{30} \\ -\dfrac{7qL}{20} \\ \dfrac{qL^{2}}{20} \end{Bmatrix} \]
Dùng mô hình tính phần tử hữu hạn một phần tử, hãy xác định:
a. Ma trận độ cứng phần tử [Ke], ma trận độ cứng kết cấu [K].
b. Chuyển vị góc (θB) tại B.
c. Chuyển vị thẳng (vC)và chuyển vị góc (θC) tại điểm giữa C của dầm.
Trả lời:
Đáp án đúng:
Câu hỏi này yêu cầu áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích kết cấu dầm chịu tải trọng phân bố đều. Cụ thể, bài toán chia thành ba phần:
a. Xác định ma trận độ cứng của phần tử dầm ([Ke]) và ma trận độ cứng của kết cấu ([K]).
b. Tính toán chuyển vị góc tại nút B (θB).
c. Tính toán chuyển vị thẳng (vC) và chuyển vị góc (θC) tại điểm giữa của dầm.
Để giải quyết phần a, ta cần sử dụng các phương trình cơ bản của phần tử hữu hạn cho dầm, bao gồm biểu thức của ma trận độ cứng phần tử dầm theo các thông số E, I, L. Sau đó, xây dựng ma trận độ cứng kết cấu [K] bằng cách tổ hợp các ma trận độ cứng phần tử dựa trên sự liên kết của chúng trong kết cấu.
Phần b và c yêu cầu áp dụng phương trình cân bằng kết cấu ở dạng ma trận: [K]{u} = {F}, trong đó [K] là ma trận độ cứng kết cấu, {u} là vector chuyển vị nút và {F} là vector lực nút. Đầu tiên, cần xác định vector tải nút tương đương cho tải trọng phân bố q(x) tác dụng lên dầm, như đã cho trong đề bài. Sau đó, giải hệ phương trình tuyến tính này để tìm các chuyển vị nút chưa biết, bao gồm θB, vC và θC. Điểm C là điểm giữa dầm, do đó tọa độ của nó sẽ phụ thuộc vào L. Cần lưu ý rằng trong bài toán này, giả định các nút có các bậc tự do tương ứng với chuyển vị thẳng và chuyển vị góc tại các điểm nút.
Do câu hỏi yêu cầu tính toán cụ thể, không có các lựa chọn đáp án sẵn để đánh giá, nên không thể xác định đáp án đúng là gì. Tuy nhiên, quy trình giải được mô tả chi tiết ở trên.
Đề thi cuối kỳ môn Phương pháp số bao gồm các bài toán tính toán đạo hàm bằng sai phân hướng tâm, tích phân bằng phương pháp Newton-Côtes, và ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn để xác định ma trận độ cứng và chuyển vị trong hệ thanh và dầm.
4 câu hỏi 90 phút
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Câu hỏi này bao gồm hai phần chính, yêu cầu sinh viên vận dụng kiến thức về tính tích phân số và sai số.
Phần a yêu cầu tính tích phân xác định bằng phương pháp số Newton-Côtes. Đây là một phương pháp xấp xỉ tích phân dựa trên việc nội suy đa thức qua các điểm đã cho và sau đó tính tích phân của đa thức nội suy đó. Cụ thể, phương pháp Newton-Côtes sử dụng các điểm lấy tích phân có khoảng cách đều nhau và các trọng số tương ứng được cho trước. Sinh viên cần áp dụng công thức: \( I \approx \sum_{i=1}^{n} \omega_i f(x_i) \), trong đó \( f(x) \) là hàm dưới dấu tích phân, \( x_i \) là các điểm lấy tích phân và \( \omega_i \) là các trọng số.
Phần b yêu cầu tính sai số tương đối của kết quả tích phân số so với kết quả tích phân tính bằng phương pháp giải tích (phương pháp Newton-Leibnitz). Sai số tương đối được định nghĩa là \( |\frac{\text{Giá trị xấp xỉ} - \text{Giá trị chính xác}}{\text{Giá trị chính xác}}| \times 100\% \). Để thực hiện phần này, sinh viên cần tính chính xác giá trị của tích phân bằng phương pháp giải tích trước, sau đó so sánh với kết quả đã tính ở phần a để tìm sai số tương đối. Việc này giúp đánh giá độ chính xác của phương pháp tích phân số đã sử dụng.
Để giải quyết câu hỏi này một cách đầy đủ, sinh viên cần thực hiện các bước sau:
1. Tính tích phân số (Phần a): Thay các giá trị \( x_i \) vào hàm \( f(x) = 23x^{5} + 4x^{4} - x^{3} + 9x^{2} + 8x - 8 \) để tìm \( f(x_i) \). Sau đó, nhân từng \( f(x_i) \) với trọng số \( \omega_i \) tương ứng và cộng tất cả lại để được giá trị xấp xỉ của tích phân \( I \).
2. Tính tích phân giải tích (Phần b): Tìm nguyên hàm của hàm \( f(x) = 23x^{5} + 4x^{4} - x^{3} + 9x^{2} + 8x - 8 \). Sau đó, áp dụng định lý Newton-Leibnitz: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \), trong đó \( F(x) \) là một nguyên hàm của \( f(x) \) và \( [a, b] = [-1, 1] \).
3. Tính sai số tương đối (Phần b): Sử dụng kết quả từ phần a và phần b để tính sai số tương đối theo công thức đã nêu.
Lưu ý rằng tích phân của một hàm đa thức trên một đoạn đối xứng \( [-a, a] \) có thể được đơn giản hóa. Cụ thể, tích phân của các số hạng bậc lẻ \( x^{2k+1} \) trên đoạn này bằng 0. Do đó, \( \int_{-1}^{1} (23x^{5} + 4x^{4} - x^{3} + 9x^{2} + 8x - 8) dx = \int_{-1}^{1} (4x^{4} + 9x^{2} - 8) dx \). Điều này sẽ giúp việc tính toán bằng phương pháp giải tích nhanh hơn và chính xác hơn.
Phần a yêu cầu tính tích phân xác định bằng phương pháp số Newton-Côtes. Đây là một phương pháp xấp xỉ tích phân dựa trên việc nội suy đa thức qua các điểm đã cho và sau đó tính tích phân của đa thức nội suy đó. Cụ thể, phương pháp Newton-Côtes sử dụng các điểm lấy tích phân có khoảng cách đều nhau và các trọng số tương ứng được cho trước. Sinh viên cần áp dụng công thức: \( I \approx \sum_{i=1}^{n} \omega_i f(x_i) \), trong đó \( f(x) \) là hàm dưới dấu tích phân, \( x_i \) là các điểm lấy tích phân và \( \omega_i \) là các trọng số.
Phần b yêu cầu tính sai số tương đối của kết quả tích phân số so với kết quả tích phân tính bằng phương pháp giải tích (phương pháp Newton-Leibnitz). Sai số tương đối được định nghĩa là \( |\frac{\text{Giá trị xấp xỉ} - \text{Giá trị chính xác}}{\text{Giá trị chính xác}}| \times 100\% \). Để thực hiện phần này, sinh viên cần tính chính xác giá trị của tích phân bằng phương pháp giải tích trước, sau đó so sánh với kết quả đã tính ở phần a để tìm sai số tương đối. Việc này giúp đánh giá độ chính xác của phương pháp tích phân số đã sử dụng.
Để giải quyết câu hỏi này một cách đầy đủ, sinh viên cần thực hiện các bước sau:
1. Tính tích phân số (Phần a): Thay các giá trị \( x_i \) vào hàm \( f(x) = 23x^{5} + 4x^{4} - x^{3} + 9x^{2} + 8x - 8 \) để tìm \( f(x_i) \). Sau đó, nhân từng \( f(x_i) \) với trọng số \( \omega_i \) tương ứng và cộng tất cả lại để được giá trị xấp xỉ của tích phân \( I \).
2. Tính tích phân giải tích (Phần b): Tìm nguyên hàm của hàm \( f(x) = 23x^{5} + 4x^{4} - x^{3} + 9x^{2} + 8x - 8 \). Sau đó, áp dụng định lý Newton-Leibnitz: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \), trong đó \( F(x) \) là một nguyên hàm của \( f(x) \) và \( [a, b] = [-1, 1] \).
3. Tính sai số tương đối (Phần b): Sử dụng kết quả từ phần a và phần b để tính sai số tương đối theo công thức đã nêu.
Lưu ý rằng tích phân của một hàm đa thức trên một đoạn đối xứng \( [-a, a] \) có thể được đơn giản hóa. Cụ thể, tích phân của các số hạng bậc lẻ \( x^{2k+1} \) trên đoạn này bằng 0. Do đó, \( \int_{-1}^{1} (23x^{5} + 4x^{4} - x^{3} + 9x^{2} + 8x - 8) dx = \int_{-1}^{1} (4x^{4} + 9x^{2} - 8) dx \). Điều này sẽ giúp việc tính toán bằng phương pháp giải tích nhanh hơn và chính xác hơn.
Lời giải:
Câu hỏi yêu cầu tính gần đúng đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của hàm số f(x) = 0,2022x³ + 0,2023x² – x – 1 tại điểm x₀ = 2 với bước h = 0,25, sử dụng công thức sai phân hướng tâm cho đạo hàm cấp 1 và cấp 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
1. Xác định các giá trị của x cần tính:
* x₀ = 2
* h = 0,25
* x₀ + h = 2 + 0,25 = 2,25
* x₀ - h = 2 - 0,25 = 1,75
* x₀ + 2h = 2 + 2*0,25 = 2 + 0,5 = 2,5
* x₀ - 2h = 2 - 2*0,25 = 2 - 0,5 = 1,5
2. Tính giá trị của hàm số f(x) tại các điểm đã xác định:
* f(1,5) = 0,2022(1,5)³ + 0,2023(1,5)² – 1,5 – 1 ≈ 0,2022(3,375) + 0,2023(2,25) – 2,5 ≈ 0,6826875 + 0,455175 – 2,5 ≈ -1,3621375
* f(1,75) = 0,2022(1,75)³ + 0,2023(1,75)² – 1,75 – 1 ≈ 0,2022(5,359375) + 0,2023(3,0625) – 2,75 ≈ 1,0831859375 + 0,61990625 – 2,75 ≈ -0,0469078125
* f(2) = 0,2022(2)³ + 0,2023(2)² – 2 – 1 = 0,2022(8) + 0,2023(4) – 3 = 1,6176 + 0,8092 – 3 = 2,4268 – 3 = -0,5732
* f(2,25) = 0,2022(2,25)³ + 0,2023(2,25)² – 2,25 – 1 ≈ 0,2022(11,390625) + 0,2023(5,0625) – 3,25 ≈ 2,304259375 + 1,02421875 – 3,25 ≈ 0,078478125
* f(2,5) = 0,2022(2,5)³ + 0,2023(2,5)² – 2,5 – 1 ≈ 0,2022(15,625) + 0,2023(6,25) – 3,5 ≈ 3,1609375 + 1,264375 – 3,5 ≈ 0,9253125
3. Áp dụng công thức sai phân hướng tâm cho đạo hàm cấp 1:
* f'(2) ≈ [-f(2,5) + 8f(2,25) - 8f(1,75) + f(1,5)] / (12 * 0,25)
* f'(2) ≈ [-0,9253125 + 8*(0,078478125) - 8*(-0,0469078125) + (-1,3621375)] / 3
* f'(2) ≈ [-0,9253125 + 0,627825 - (-0,3752625) - 1,3621375] / 3
* f'(2) ≈ [-0,9253125 + 0,627825 + 0,3752625 - 1,3621375] / 3
* f'(2) ≈ [-1,2793625] / 3 ≈ -0,4264541667
4. Áp dụng công thức sai phân hướng tâm cho đạo hàm cấp 2:
* f''(2) ≈ [-f(2,5) + 16f(2,25) - 30f(2) + 16f(1,75) - f(1,5)] / (12 * (0,25)²)
* f''(2) ≈ [-0,9253125 + 16*(0,078478125) - 30*(-0,5732) + 16*(-0,0469078125) - (-1,3621375)] / (12 * 0,0625)
* f''(2) ≈ [-0,9253125 + 1,25565 - (-17,196) + (-0,750525) + 1,3621375] / 0,75
* f''(2) ≈ [-0,9253125 + 1,25565 + 17,196 - 0,750525 + 1,3621375] / 0,75
* f''(2) ≈ [18,13795] / 0,75 ≈ 24,18393333
Do câu hỏi không cung cấp các đáp án để lựa chọn, nên không thể xác định 'answer_iscorrect'. Tuy nhiên, các bước tính toán trên là lời giải chi tiết cho bài toán.
1. Xác định các giá trị của x cần tính:
* x₀ = 2
* h = 0,25
* x₀ + h = 2 + 0,25 = 2,25
* x₀ - h = 2 - 0,25 = 1,75
* x₀ + 2h = 2 + 2*0,25 = 2 + 0,5 = 2,5
* x₀ - 2h = 2 - 2*0,25 = 2 - 0,5 = 1,5
2. Tính giá trị của hàm số f(x) tại các điểm đã xác định:
* f(1,5) = 0,2022(1,5)³ + 0,2023(1,5)² – 1,5 – 1 ≈ 0,2022(3,375) + 0,2023(2,25) – 2,5 ≈ 0,6826875 + 0,455175 – 2,5 ≈ -1,3621375
* f(1,75) = 0,2022(1,75)³ + 0,2023(1,75)² – 1,75 – 1 ≈ 0,2022(5,359375) + 0,2023(3,0625) – 2,75 ≈ 1,0831859375 + 0,61990625 – 2,75 ≈ -0,0469078125
* f(2) = 0,2022(2)³ + 0,2023(2)² – 2 – 1 = 0,2022(8) + 0,2023(4) – 3 = 1,6176 + 0,8092 – 3 = 2,4268 – 3 = -0,5732
* f(2,25) = 0,2022(2,25)³ + 0,2023(2,25)² – 2,25 – 1 ≈ 0,2022(11,390625) + 0,2023(5,0625) – 3,25 ≈ 2,304259375 + 1,02421875 – 3,25 ≈ 0,078478125
* f(2,5) = 0,2022(2,5)³ + 0,2023(2,5)² – 2,5 – 1 ≈ 0,2022(15,625) + 0,2023(6,25) – 3,5 ≈ 3,1609375 + 1,264375 – 3,5 ≈ 0,9253125
3. Áp dụng công thức sai phân hướng tâm cho đạo hàm cấp 1:
* f'(2) ≈ [-f(2,5) + 8f(2,25) - 8f(1,75) + f(1,5)] / (12 * 0,25)
* f'(2) ≈ [-0,9253125 + 8*(0,078478125) - 8*(-0,0469078125) + (-1,3621375)] / 3
* f'(2) ≈ [-0,9253125 + 0,627825 - (-0,3752625) - 1,3621375] / 3
* f'(2) ≈ [-0,9253125 + 0,627825 + 0,3752625 - 1,3621375] / 3
* f'(2) ≈ [-1,2793625] / 3 ≈ -0,4264541667
4. Áp dụng công thức sai phân hướng tâm cho đạo hàm cấp 2:
* f''(2) ≈ [-f(2,5) + 16f(2,25) - 30f(2) + 16f(1,75) - f(1,5)] / (12 * (0,25)²)
* f''(2) ≈ [-0,9253125 + 16*(0,078478125) - 30*(-0,5732) + 16*(-0,0469078125) - (-1,3621375)] / (12 * 0,0625)
* f''(2) ≈ [-0,9253125 + 1,25565 - (-17,196) + (-0,750525) + 1,3621375] / 0,75
* f''(2) ≈ [-0,9253125 + 1,25565 + 17,196 - 0,750525 + 1,3621375] / 0,75
* f''(2) ≈ [18,13795] / 0,75 ≈ 24,18393333
Do câu hỏi không cung cấp các đáp án để lựa chọn, nên không thể xác định 'answer_iscorrect'. Tuy nhiên, các bước tính toán trên là lời giải chi tiết cho bài toán.
.png)
Lời giải:
Câu hỏi yêu cầu áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích một hệ gồm hai thanh có cùng thông số, chịu tải trọng P. Cụ thể, người học cần xác định:
a. Ma trận độ cứng từng phần tử thanh [k1], [k2] và ma trận độ cứng kết cấu [K].
b. Chuyển vị nút.
Để giải quyết phần a, trước hết cần xây dựng ma trận độ cứng cho từng phần tử thanh trong hệ tọa độ địa phương. Với một phần tử thanh có tiết diện A, mô đun đàn hồi E và chiều dài L, ma trận độ cứng trong hệ tọa độ địa phương (theo phương trục và phương vuông góc) là:
$$[k_{local}] = \frac{AE}{L} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$
Trong bài toán này, các thanh nằm ngang và chịu tải theo phương ngang, do đó chỉ có độ cứng theo phương ngang (phương x) là đáng kể.
Tiếp theo, các ma trận độ cứng địa phương này cần được chuyển đổi sang hệ tọa độ toàn cục. Tuy nhiên, trong trường hợp này, các thanh đều nằm dọc theo trục x toàn cục và không có sự xoay, nên ma trận độ cứng trong hệ tọa độ địa phương và toàn cục là giống nhau nếu ta xét các nút theo phương x. Đối với thanh 1 (nút 1 đến 2) và thanh 2 (nút 2 đến 3), các ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ toàn cục (chỉ xét bậc tự do chuyển vị ngang tại các nút) sẽ là:
$$[k_1] = [k_2] = \frac{AE}{L} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$
Sau đó, các ma trận độ cứng phần tử này sẽ được lắp ráp thành ma trận độ cứng kết cấu [K] dựa trên sự kết nối của các nút. Trong trường hợp này, nút 1 cố định (tương đương với chuyển vị bằng 0), nút 2 là nút chung giữa hai thanh, và nút 3 chịu tải P. Giả sử ta chỉ xét chuyển vị theo phương ngang (u1, u2, u3) tại các nút. Tuy nhiên, câu hỏi giả định nút 1 là cố định, do đó u1 = 0. Ta chỉ cần quan tâm đến các nút có chuyển vị có thể xảy ra. Do thanh 1 nối 1-2 và thanh 2 nối 2-3, ta có thể biểu diễn ma trận độ cứng kết cấu cho các bậc tự do u2 và u3:
$$[K] = \begin{bmatrix} \frac{AE}{L} + \frac{AE}{L} & -\frac{AE}{L} \\ -\frac{AE}{L} & \frac{AE}{L} \end{bmatrix} = \frac{AE}{L} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$
Với A = 50 mm2, E = 200.000 MPa, L = 1000 mm, ta có: $\frac{AE}{L} = \frac{50 \times 200000}{1000} = 10000$ kN/mm.
$$[K] = 10000 \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \text{ kN/mm}$$
Để giải phần b, xác định chuyển vị nút, ta cần thiết lập hệ phương trình cân bằng kết cấu: [K]{u} = {F}, trong đó {u} là vector chuyển vị nút và {F} là vector lực nút. Vì nút 1 cố định (u1 = 0), ta chỉ cần giải cho các chuyển vị tại các nút còn lại. Tuy nhiên, do câu hỏi chỉ đưa ra P = 20 kN mà không chỉ rõ hướng và vị trí đặt, ta giả định P là lực tập trung đặt tại nút 3 theo phương ngang.
Do nút 1 cố định, ta chỉ xét chuyển vị tại nút 2 (u2) và nút 3 (u3). Hệ phương trình cân bằng sẽ được rút gọn bằng cách loại bỏ hàng và cột tương ứng với nút cố định.
Ta cần sử dụng ma trận độ cứng kết cấu đã loại bỏ hàng và cột của nút 1. Hệ phương trình cân bằng là:
$$ \frac{AE}{L} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F_2 \\ F_3 \end{bmatrix} $$
Trong đó, $F_2$ là lực tác dụng tại nút 2 theo phương ngang, và $F_3$ là lực tác dụng tại nút 3 theo phương ngang. Theo giả định, P = 20 kN tác dụng tại nút 3, nên $F_3 = 20$ kN. Giả sử không có lực ngang tác dụng tại nút 2, nên $F_2 = 0$.
$$10000 \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 20 \end{bmatrix} \text{ kN}$$
Ta có hệ phương trình:
$20000 u_2 - 10000 u_3 = 0$ (1)
$-10000 u_2 + 10000 u_3 = 20$ (2)
Từ phương trình (1), ta có $2 u_2 = u_3$. Thay vào phương trình (2):
$-10000 u_2 + 10000 (2 u_2) = 20$
$-10000 u_2 + 20000 u_2 = 20$
$10000 u_2 = 20$
$u_2 = \frac{20}{10000} = 0.002$ mm.
Sau đó, $u_3 = 2 u_2 = 2 imes 0.002 = 0.004$ mm.
Vậy, chuyển vị tại nút 2 là 0.002 mm và chuyển vị tại nút 3 là 0.004 mm. Lưu ý rằng đây là các chuyển vị theo phương ngang.
a. Ma trận độ cứng từng phần tử thanh [k1], [k2] và ma trận độ cứng kết cấu [K].
b. Chuyển vị nút.
Để giải quyết phần a, trước hết cần xây dựng ma trận độ cứng cho từng phần tử thanh trong hệ tọa độ địa phương. Với một phần tử thanh có tiết diện A, mô đun đàn hồi E và chiều dài L, ma trận độ cứng trong hệ tọa độ địa phương (theo phương trục và phương vuông góc) là:
$$[k_{local}] = \frac{AE}{L} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$
Trong bài toán này, các thanh nằm ngang và chịu tải theo phương ngang, do đó chỉ có độ cứng theo phương ngang (phương x) là đáng kể.
Tiếp theo, các ma trận độ cứng địa phương này cần được chuyển đổi sang hệ tọa độ toàn cục. Tuy nhiên, trong trường hợp này, các thanh đều nằm dọc theo trục x toàn cục và không có sự xoay, nên ma trận độ cứng trong hệ tọa độ địa phương và toàn cục là giống nhau nếu ta xét các nút theo phương x. Đối với thanh 1 (nút 1 đến 2) và thanh 2 (nút 2 đến 3), các ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ toàn cục (chỉ xét bậc tự do chuyển vị ngang tại các nút) sẽ là:
$$[k_1] = [k_2] = \frac{AE}{L} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$
Sau đó, các ma trận độ cứng phần tử này sẽ được lắp ráp thành ma trận độ cứng kết cấu [K] dựa trên sự kết nối của các nút. Trong trường hợp này, nút 1 cố định (tương đương với chuyển vị bằng 0), nút 2 là nút chung giữa hai thanh, và nút 3 chịu tải P. Giả sử ta chỉ xét chuyển vị theo phương ngang (u1, u2, u3) tại các nút. Tuy nhiên, câu hỏi giả định nút 1 là cố định, do đó u1 = 0. Ta chỉ cần quan tâm đến các nút có chuyển vị có thể xảy ra. Do thanh 1 nối 1-2 và thanh 2 nối 2-3, ta có thể biểu diễn ma trận độ cứng kết cấu cho các bậc tự do u2 và u3:
$$[K] = \begin{bmatrix} \frac{AE}{L} + \frac{AE}{L} & -\frac{AE}{L} \\ -\frac{AE}{L} & \frac{AE}{L} \end{bmatrix} = \frac{AE}{L} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$
Với A = 50 mm2, E = 200.000 MPa, L = 1000 mm, ta có: $\frac{AE}{L} = \frac{50 \times 200000}{1000} = 10000$ kN/mm.
$$[K] = 10000 \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \text{ kN/mm}$$
Để giải phần b, xác định chuyển vị nút, ta cần thiết lập hệ phương trình cân bằng kết cấu: [K]{u} = {F}, trong đó {u} là vector chuyển vị nút và {F} là vector lực nút. Vì nút 1 cố định (u1 = 0), ta chỉ cần giải cho các chuyển vị tại các nút còn lại. Tuy nhiên, do câu hỏi chỉ đưa ra P = 20 kN mà không chỉ rõ hướng và vị trí đặt, ta giả định P là lực tập trung đặt tại nút 3 theo phương ngang.
Do nút 1 cố định, ta chỉ xét chuyển vị tại nút 2 (u2) và nút 3 (u3). Hệ phương trình cân bằng sẽ được rút gọn bằng cách loại bỏ hàng và cột tương ứng với nút cố định.
Ta cần sử dụng ma trận độ cứng kết cấu đã loại bỏ hàng và cột của nút 1. Hệ phương trình cân bằng là:
$$ \frac{AE}{L} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F_2 \\ F_3 \end{bmatrix} $$
Trong đó, $F_2$ là lực tác dụng tại nút 2 theo phương ngang, và $F_3$ là lực tác dụng tại nút 3 theo phương ngang. Theo giả định, P = 20 kN tác dụng tại nút 3, nên $F_3 = 20$ kN. Giả sử không có lực ngang tác dụng tại nút 2, nên $F_2 = 0$.
$$10000 \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 20 \end{bmatrix} \text{ kN}$$
Ta có hệ phương trình:
$20000 u_2 - 10000 u_3 = 0$ (1)
$-10000 u_2 + 10000 u_3 = 20$ (2)
Từ phương trình (1), ta có $2 u_2 = u_3$. Thay vào phương trình (2):
$-10000 u_2 + 10000 (2 u_2) = 20$
$-10000 u_2 + 20000 u_2 = 20$
$10000 u_2 = 20$
$u_2 = \frac{20}{10000} = 0.002$ mm.
Sau đó, $u_3 = 2 u_2 = 2 imes 0.002 = 0.004$ mm.
Vậy, chuyển vị tại nút 2 là 0.002 mm và chuyển vị tại nút 3 là 0.004 mm. Lưu ý rằng đây là các chuyển vị theo phương ngang.
