JavaScript is required

Cho tích phân:
\[ I = \int_{-1}^{1} \left( 23x^{5} + 4x^{4} - x^{3} + 9x^{2} + 8x - 8 \right) dx \]

a. Tính tích phân I bằng phương pháp số Newton-Côtes. Biết hoành độ các điểm lấy tích phân xi và các trọng số tương ứng ωi lần lượt là:

\[ x_{1} = -1; \; \omega_{1} = \tfrac{7}{45}; \quad x_{2} = -\tfrac{1}{2}; \; \omega_{2} = \tfrac{32}{45}; \quad x_{3} = 0; \; \omega_{3} = \tfrac{4}{15}; \] \[ x_{4} = \tfrac{1}{2}; \; \omega_{4} = \tfrac{32}{45}; \quad x_{5} = 1; \; \omega_{5} = \tfrac{7}{45}. \]

b. Tính sai số tương đối của tích phân số so với tích phân tính bằng phương pháp giải tích (NewtonLeibnitz).

Trả lời:

Đáp án đúng:


Câu hỏi này bao gồm hai phần chính, yêu cầu sinh viên vận dụng kiến thức về tính tích phân số và sai số. Phần a yêu cầu tính tích phân xác định bằng phương pháp số Newton-Côtes. Đây là một phương pháp xấp xỉ tích phân dựa trên việc nội suy đa thức qua các điểm đã cho và sau đó tính tích phân của đa thức nội suy đó. Cụ thể, phương pháp Newton-Côtes sử dụng các điểm lấy tích phân có khoảng cách đều nhau và các trọng số tương ứng được cho trước. Sinh viên cần áp dụng công thức: \( I \approx \sum_{i=1}^{n} \omega_i f(x_i) \), trong đó \( f(x) \) là hàm dưới dấu tích phân, \( x_i \) là các điểm lấy tích phân và \( \omega_i \) là các trọng số. Phần b yêu cầu tính sai số tương đối của kết quả tích phân số so với kết quả tích phân tính bằng phương pháp giải tích (phương pháp Newton-Leibnitz). Sai số tương đối được định nghĩa là \( |\frac{\text{Giá trị xấp xỉ} - \text{Giá trị chính xác}}{\text{Giá trị chính xác}}| \times 100\% \). Để thực hiện phần này, sinh viên cần tính chính xác giá trị của tích phân bằng phương pháp giải tích trước, sau đó so sánh với kết quả đã tính ở phần a để tìm sai số tương đối. Việc này giúp đánh giá độ chính xác của phương pháp tích phân số đã sử dụng. Để giải quyết câu hỏi này một cách đầy đủ, sinh viên cần thực hiện các bước sau: 1. **Tính tích phân số (Phần a):** Thay các giá trị \( x_i \) vào hàm \( f(x) = 23x^{5} + 4x^{4} - x^{3} + 9x^{2} + 8x - 8 \) để tìm \( f(x_i) \). Sau đó, nhân từng \( f(x_i) \) với trọng số \( \omega_i \) tương ứng và cộng tất cả lại để được giá trị xấp xỉ của tích phân \( I \). 2. **Tính tích phân giải tích (Phần b):** Tìm nguyên hàm của hàm \( f(x) = 23x^{5} + 4x^{4} - x^{3} + 9x^{2} + 8x - 8 \). Sau đó, áp dụng định lý Newton-Leibnitz: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \), trong đó \( F(x) \) là một nguyên hàm của \( f(x) \) và \( [a, b] = [-1, 1] \). 3. **Tính sai số tương đối (Phần b):** Sử dụng kết quả từ phần a và phần b để tính sai số tương đối theo công thức đã nêu. Lưu ý rằng tích phân của một hàm đa thức trên một đoạn đối xứng \( [-a, a] \) có thể được đơn giản hóa. Cụ thể, tích phân của các số hạng bậc lẻ \( x^{2k+1} \) trên đoạn này bằng 0. Do đó, \( \int_{-1}^{1} (23x^{5} + 4x^{4} - x^{3} + 9x^{2} + 8x - 8) dx = \int_{-1}^{1} (4x^{4} + 9x^{2} - 8) dx \). Điều này sẽ giúp việc tính toán bằng phương pháp giải tích nhanh hơn và chính xác hơn.

Đề thi cuối kỳ môn Phương pháp số bao gồm các bài toán tính toán đạo hàm bằng sai phân hướng tâm, tích phân bằng phương pháp Newton-Côtes, và ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn để xác định ma trận độ cứng và chuyển vị trong hệ thanh và dầm.


4 câu hỏi 90 phút

Câu hỏi liên quan