Xét hệ thanh 1 (1-2) và 2 (2-3) có cùng thông số A, E, L như Hình 1. Cho A = 50 mm², E = 200.000 MPa, L = 1000 mm, P = 20 kN.

Dùng phương pháp phần tử hữu hạn, hãy xác định:

a. Ma trận độ cứng từng phần tử thanh [k₁], [k₂] và ma trận độ cứng kết cấu [K].

b. Chuyển vị nút.

Câu hỏi yêu cầu áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích một hệ gồm hai thanh có cùng thông số, chịu tải trọng P. Cụ thể, người học cần xác định: a. Ma trận độ cứng từng phần tử thanh [k₁], [k₂] và ma trận độ cứng kết cấu [K]. b. Chuyển vị nút. Để giải quyết phần a, trước hết cần xây dựng ma trận độ cứng cho từng phần tử thanh trong hệ tọa độ địa phương. Với một phần tử thanh có tiết diện A, mô đun đàn hồi E và chiều dài L, ma trận độ cứng trong hệ tọa độ địa phương (theo phương trục và phương vuông góc) là: $$[k_{local}] = \frac{AE}{L} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ Trong bài toán này, các thanh nằm ngang và chịu tải theo phương ngang, do đó chỉ có độ cứng theo phương ngang (phương x) là đáng kể. Tiếp theo, các ma trận độ cứng địa phương này cần được chuyển đổi sang hệ tọa độ toàn cục. Tuy nhiên, trong trường hợp này, các thanh đều nằm dọc theo trục x toàn cục và không có sự xoay, nên ma trận độ cứng trong hệ tọa độ địa phương và toàn cục là giống nhau nếu ta xét các nút theo phương x. Đối với thanh 1 (nút 1 đến 2) và thanh 2 (nút 2 đến 3), các ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ toàn cục (chỉ xét bậc tự do chuyển vị ngang tại các nút) sẽ là: $$[k_1] = [k_2] = \frac{AE}{L} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$ Sau đó, các ma trận độ cứng phần tử này sẽ được lắp ráp thành ma trận độ cứng kết cấu [K] dựa trên sự kết nối của các nút. Trong trường hợp này, nút 1 cố định (tương đương với chuyển vị bằng 0), nút 2 là nút chung giữa hai thanh, và nút 3 chịu tải P. Giả sử ta chỉ xét chuyển vị theo phương ngang (u₁, u₂, u₃) tại các nút. Tuy nhiên, câu hỏi giả định nút 1 là cố định, do đó u₁ = 0. Ta chỉ cần quan tâm đến các nút có chuyển vị có thể xảy ra. Do thanh 1 nối 1-2 và thanh 2 nối 2-3, ta có thể biểu diễn ma trận độ cứng kết cấu cho các bậc tự do u₂ và u₃: $$[K] = \begin{bmatrix} \frac{AE}{L} + \frac{AE}{L} & -\frac{AE}{L} \\ -\frac{AE}{L} & \frac{AE}{L} \end{bmatrix} = \frac{AE}{L} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$ Với A = 50 mm², E = 200.000 MPa, L = 1000 mm, ta có: $\frac{AE}{L} = \frac{50 \times 200000}{1000} = 10000$ kN/mm. $$[K] = 10000 \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \text{ kN/mm}$$ Để giải phần b, xác định chuyển vị nút, ta cần thiết lập hệ phương trình cân bằng kết cấu: [K]{u} = {F}, trong đó {u} là vector chuyển vị nút và {F} là vector lực nút. Vì nút 1 cố định (u₁ = 0), ta chỉ cần giải cho các chuyển vị tại các nút còn lại. Tuy nhiên, do câu hỏi chỉ đưa ra P = 20 kN mà không chỉ rõ hướng và vị trí đặt, ta giả định P là lực tập trung đặt tại nút 3 theo phương ngang. Do nút 1 cố định, ta chỉ xét chuyển vị tại nút 2 (u₂) và nút 3 (u₃). Hệ phương trình cân bằng sẽ được rút gọn bằng cách loại bỏ hàng và cột tương ứng với nút cố định. Ta cần sử dụng ma trận độ cứng kết cấu đã loại bỏ hàng và cột của nút 1. Hệ phương trình cân bằng là: $$ \frac{AE}{L} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F_2 \\ F_3 \end{bmatrix} $$ Trong đó, $F_2$ là lực tác dụng tại nút 2 theo phương ngang, và $F_3$ là lực tác dụng tại nút 3 theo phương ngang. Theo giả định, P = 20 kN tác dụng tại nút 3, nên $F_3 = 20$ kN. Giả sử không có lực ngang tác dụng tại nút 2, nên $F_2 = 0$. $$10000 \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 20 \end{bmatrix} \text{ kN}$$ Ta có hệ phương trình: $20000 u_2 - 10000 u_3 = 0$ (1) $-10000 u_2 + 10000 u_3 = 20$ (2) Từ phương trình (1), ta có $2 u_2 = u_3$. Thay vào phương trình (2): $-10000 u_2 + 10000 (2 u_2) = 20$ $-10000 u_2 + 20000 u_2 = 20$ $10000 u_2 = 20$ $u_2 = \frac{20}{10000} = 0.002$ mm. Sau đó, $u_3 = 2 u_2 = 2 imes 0.002 = 0.004$ mm. Vậy, chuyển vị tại nút 2 là 0.002 mm và chuyển vị tại nút 3 là 0.004 mm. Lưu ý rằng đây là các chuyển vị theo phương ngang.