Trong hộp I có 4 bi trắng và 2 bi đen, hộp II có 3 bi trắng và 3 bi đen. Các bi có kích cỡ như nhau. Chuyển 1 bi từ hộp II sang hộp I, sau đó lấy ngẫu nhiên 1 bi ở hộp I. Xác suất để bi lấy ra là bi trắng.

Câu 8:

Có ba hộp thuốc, hộp I có 5 ống tốt và 2 ống xấu, hộp II có 4 ống tốt và 1 ống xấu, hộp III có 3 ống tốt và 2 ống xấu. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp và từ đó rút ra 1 ống thuốc thì được ống tốt. Xác suất để ống này thuộc hộp II:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi A là biến cố “lấy được ống thuốc tốt”.
Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các biến cố “ống thuốc lấy ra từ hộp I, II, III”.
Ta có P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3.
Xác suất lấy được ống tốt từ hộp I là P(A|H1) = 5/7.
Xác suất lấy được ống tốt từ hộp II là P(A|H2) = 4/5.
Xác suất lấy được ống tốt từ hộp III là P(A|H3) = 3/5.
Áp dụng công thức Bayes, xác suất để ống thuốc tốt lấy ra từ hộp II là:
P(H2|A) = [P(H2) * P(A|H2)] / [P(H1) * P(A|H1) + P(H2) * P(A|H2) + P(H3) * P(A|H3)]
= [(1/3) * (4/5)] / [(1/3) * (5/7) + (1/3) * (4/5) + (1/3) * (3/5)]
= (4/5) / (5/7 + 4/5 + 3/5)
= (4/5) / (5/7 + 7/5) = (4/5) / (25/35 + 49/35) = (4/5) / (74/35) = (4/5) * (35/74) = 140/370 = 14/37 ≈ 0.3784
Vậy xác suất để ống thuốc này thuộc hộp II là 0.3784.

Câu 9:

Trong hộp có 5 bi đánh số từ 1 đến 5 (các bi có cùng kích cỡ). Lấy ra ngẫu nhiên 2 bi. X là tổng số viết trên 2 bi lấy ra. Kỳ vọng M(X) bằng:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi X là tổng số viết trên hai bi lấy ra. Ta cần tính E(X).

Có tổng cộng C(5,2) = 10 cách lấy ra 2 bi từ 5 bi.

Các cặp bi có thể lấy ra và tổng tương ứng của chúng:
(1,2) -> 3
(1,3) -> 4
(1,4) -> 5
(1,5) -> 6
(2,3) -> 5
(2,4) -> 6
(2,5) -> 7
(3,4) -> 7
(3,5) -> 8
(4,5) -> 9

Vậy E(X) = (3+4+5+6+5+6+7+7+8+9)/10 = 60/10 = 6.

Vậy kỳ vọng M(X) = 6.

Câu 10:

Một nhà máy sản xuất bóng đèn có hai phân xưởng I và II. Biết rằng phân xưởng II sản xuất gấp 4 lần phân xưởng I, tỷ lệ bóng hư của phân xưởng I là 10%, phân xưởng II là 20%. Mua 1 bóng đèn của nhà máy thì được bóng hư. Xác suất để bóng này thuộc phân xưởng II:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Gọi A là biến cố "mua được bóng hư".
Gọi B1 là biến cố "bóng đèn thuộc phân xưởng I".
Gọi B2 là biến cố "bóng đèn thuộc phân xưởng II".
Ta có P(B1) + P(B2) = 1 và P(B2) = 4P(B1) => P(B1) = 1/5 và P(B2) = 4/5.
Đề cho P(A|B1) = 0.1 và P(A|B2) = 0.2.
Áp dụng công thức Bayes, ta có:
P(B2|A) = [P(A|B2) * P(B2)] / [P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2)]
= (0.2 * 4/5) / (0.1 * 1/5 + 0.2 * 4/5)
= (8/50) / (1/50 + 8/50)
= (8/50) / (9/50)
= 8/9.
Vậy xác suất để bóng hư thuộc phân xưởng II là 8/9.

Câu 11:

Ba sinh viên cùng làm bài thi. Xác suất làm được bài của sinh viên A là 0,8; của sinh viên B là 0,7; của sinh viên C là 0,6. Nếu có 2 sinh viên làm được bài, Thì xác suất để sinh viên A không làm được bài là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi A, B, C lần lượt là biến cố sinh viên A, B, C làm được bài. Ta có P(A) = 0,8; P(B) = 0,7; P(C) = 0,6.

Gọi X là biến cố có đúng 2 sinh viên làm được bài.

X = (A ∩ B ∩ C̄) ∪ (A ∩ B̄ ∩ C) ∪ (Ā ∩ B ∩ C)

P(X) = P(A)P(B)P(C̄) + P(A)P(B̄)P(C) + P(Ā)P(B)P(C)

P(X) = 0,8 * 0,7 * 0,4 + 0,8 * 0,3 * 0,6 + 0,2 * 0,7 * 0,6 = 0,224 + 0,144 + 0,084 = 0,452

Gọi Y là biến cố sinh viên A không làm được bài và có đúng 2 sinh viên làm được bài.

Y = Ā ∩ B ∩ C

P(Y) = P(Ā)P(B)P(C) = 0,2 * 0,7 * 0,6 = 0,084

Xác suất cần tìm là: P(Ā | X) = P(Y) / P(X) = 0,084 / 0,452 ≈ 0,18584

Vậy không có đáp án nào đúng.

Câu 12:

Một phân xưởng có hai máy hoạt động độc lập. Xác suất trong một ngày làm việc các máy đó hỏng tương ứng là 0,1; 0,2. Gọi X là số máy hỏng trong một ngày làm việc. Mốt Mod[X]:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi X là số máy hỏng trong một ngày. X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2.
Ta có:
P(X=0) = (1-0.1)(1-0.2) = 0.9 * 0.8 = 0.72
P(X=1) = 0.1 * (1-0.2) + 0.2 * (1-0.1) = 0.1 * 0.8 + 0.2 * 0.9 = 0.08 + 0.18 = 0.26
P(X=2) = 0.1 * 0.2 = 0.02
Vậy P(X=0) > P(X=1) > P(X=2). Do đó, Mod[X] = 0.

Câu 49:

Một tổ gồm 4 nam và 3 nữ. Chọn liên tiếp 2 người. Xác suất để có 1 nam và 1 nữ.

Lời giải: