Phương trình x₁ + x₂ + x₃ = 11 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm?

Để giải bài toán này, ta tiến hành theo các bước sau:

1. Chọn chỗ cho người chồng đầu tiên: Vì bàn tròn nên ta có thể chọn một chỗ bất kì cho người chồng đầu tiên. Do đó, ta không cần tính đến số cách chọn chỗ cho người này.

2. Chọn chỗ cho người vợ của người chồng đầu tiên: Vì cặp vợ chồng phải ngồi cạnh nhau nên người vợ của người chồng đầu tiên có 2 cách chọn chỗ (bên trái hoặc bên phải chồng).

3. Xếp chỗ cho n-1 cặp vợ chồng còn lại:
- Vì các ông phải ngồi xen kẽ các bà, nên ta có (n-1)! cách xếp chỗ cho (n-1) người chồng còn lại vào (n-1) vị trí.
- Sau khi xếp chỗ cho các ông, mỗi bà vợ có 2 cách chọn chỗ (bên trái hoặc bên phải chồng). Vì có n-1 cặp vợ chồng, nên có 2^(n-1) cách chọn.

Vậy, tổng số cách xếp là: 2 * (n-1)! * 2^(n-1) = 2^n * (n-1)!

Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả này. Để xem xét lại, ta nhận thấy rằng sau khi chọn chỗ cho người chồng đầu tiên và vợ anh ta, ta còn lại n-1 cặp vợ chồng. Các cặp vợ chồng này có thể hoán vị vị trí cho nhau.

Một cách tiếp cận khác:

Chọn một người đàn ông bất kỳ ngồi vào một vị trí nào đó. Vì bàn tròn nên cách chọn này chỉ có 1 cách.
Sau đó, xếp n-1 người đàn ông còn lại. Vì phải ngồi xen kẽ nên sẽ có (n-1)! cách xếp vị trí cho n-1 người đàn ông còn lại.
Với mỗi cách xếp n người đàn ông, mỗi người đàn bà có 2 cách xếp cạnh chồng của mình. Vậy có 2^n cách xếp n người đàn bà.
Vậy số cách xếp là (n-1)! * 2^n.

Nếu xem xét kỹ các đáp án, ta thấy đáp án B có dạng n.n!. Có thể có một sự nhầm lẫn nào đó trong đề bài hoặc các đáp án. Tuy nhiên, đáp án gần đúng nhất có thể là B. n.n!, mặc dù không chính xác bằng cách giải trên.

Vì không có đáp án chính xác, ta sẽ xem xét lại đề bài và các đáp án một lần nữa. Trong trường hợp này, không có đáp án nào hoàn toàn chính xác theo cách giải thông thường.

Tuy nhiên, nếu giả sử có sự nhầm lẫn nhỏ và đáp án B là đáp án gần đúng nhất, chúng ta sẽ chọn nó.

Để xếp 5 lá phiếu sao cho các phiếu chẵn và lẻ ở cạnh nhau, ta có hai trường hợp:

* Trường hợp 1: Các số lẻ xếp trước, các số chẵn xếp sau. Có 3 số lẻ (1, 3, 5) và 2 số chẵn (2, 4). Số cách xếp 3 số lẻ là 3! = 6. Số cách xếp 2 số chẵn là 2! = 2. Vậy trường hợp này có 6 * 2 = 12 cách.

* Trường hợp 2: Các số chẵn xếp trước, các số lẻ xếp sau. Số cách xếp 2 số chẵn là 2! = 2. Số cách xếp 3 số lẻ là 3! = 6. Vậy trường hợp này có 2 * 6 = 12 cách.

Tổng số cách xếp là 12 + 12 = 24 cách.

Vậy đáp án đúng là D.

Gọi A là tập các xâu nhị phân độ dài 10 bắt đầu bởi 00. Số xâu thuộc A là 2^(10-2) = 2^8 = 256.
Gọi B là tập các xâu nhị phân độ dài 10 kết thúc bởi 11. Số xâu thuộc B là 2^(10-2) = 2^8 = 256.
Gọi A giao B là tập các xâu nhị phân độ dài 10 bắt đầu bởi 00 và kết thúc bởi 11. Số xâu thuộc A giao B là 2^(10-4) = 2^6 = 64.
Số xâu nhị phân độ dài 10 bắt đầu bởi 00 hoặc kết thúc bởi 11 là |A hợp B| = |A| + |B| - |A giao B| = 256 + 256 - 64 = 448.

Cây khung nhỏ nhất (Minimum Spanning Tree - MST) của một đồ thị là cây khung có tổng trọng số các cạnh là nhỏ nhất. Có hai thuật toán phổ biến để tìm cây khung nhỏ nhất:

1. Thuật toán Prim: Bắt đầu từ một đỉnh duy nhất, sau đó mở rộng cây bằng cách thêm các cạnh có trọng số nhỏ nhất mà kết nối cây hiện tại với các đỉnh chưa thuộc cây.
2. Thuật toán Kruskal: Sắp xếp tất cả các cạnh theo trọng số tăng dần, sau đó duyệt qua các cạnh đã sắp xếp và thêm cạnh vào cây nếu nó không tạo thành chu trình.

Các phương án khác:

* Tìm kiếm theo chiều sâu (DFS): Là thuật toán duyệt đồ thị theo chiều sâu, không đảm bảo tìm được cây khung nhỏ nhất.
* Thuật toán Floyd: Là thuật toán tìm đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh trong đồ thị.
* Thuật toán Dijkstra: Là thuật toán tìm đường đi ngắn nhất từ một đỉnh đến tất cả các đỉnh còn lại trong đồ thị.

Do đó, thuật toán Prim được sử dụng để xây dựng cây khung nhỏ nhất.