Giả sử sản lượng Q₁, Q₂ của 2 loại sản phẩm phụ thuộc vào các yếu tố môi trường (chẳng hạn nhiệt độ, lượng ánh sáng và lượng mưa) x, y, z được mô hình hóa như sau

\[ \begin{cases} xQ_1^2 + yQ_2 = 5z^2, \\[6pt] Q_1^2 + Q_2^2 = 10z. \end{cases} \] (1)

Đặt \[ g_{1}(Q_{1}, Q_{2}, x, y, z) \equiv xQ_{1}^{2} + yQ_{2} - 5z^{2}, \quad g_{2}(Q_{1}, Q_{2}, x, y, z) \equiv Q_{1}^{2} + Q_{2}^{2} - 10z. \]

Anh/Chị hãy tính vi phân toàn phần của g₁, g₂, từ đó tính đạo hàm riêng \[ \frac{\partial Q_{1}}{\partial x} \quad \text{và} \quad \frac{\partial Q_{2}}{\partial z}, \] đó Q₁ = Q₁(x, y, z), Q₂ = Q₂(x, y, z) xác định bởi hệ hàm ẩn (1).

Câu hỏi yêu cầu tính vi phân toàn phần của hai hàm số $g_1$ và $g_2$ được cho dưới dạng hệ phương trình ẩn, sau đó sử dụng kết quả này để tính các đạo hàm riêng của $Q_1$ theo $x$ và của $Q_2$ theo $z$. Đây là một bài toán về đạo hàm của hàm ẩn trong trường hợp có nhiều biến. Đầu tiên, ta cần tính vi phân toàn phần của $g_1$ và $g_2$ theo các biến $Q_1, Q_2, x, y, z$. Sau đó, vì $g_1=0$ và $g_2=0$, nên vi phân toàn phần của chúng cũng bằng 0. Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có thể thiết lập một hệ phương trình tuyến tính liên hệ các đạo hàm riêng của $Q_1, Q_2$ theo $x, y, z$. Cụ thể, đối với $g_1 = xQ_1^2 + yQ_2 - 5z^2 = 0$, vi phân toàn phần là $dg_1 = (2xQ_1)dQ_1 + Q_1^2 dx + y dQ_2 - 10z dz = 0$. Tương tự, đối với $g_2 = Q_1^2 + Q_2^2 - 10z = 0$, vi phân toàn phần là $dg_2 = 2Q_1 dQ_1 + 2Q_2 dQ_2 - 10 dz = 0$. Các vi phân $dQ_1$ và $dQ_2$ có thể được biểu diễn qua các đạo hàm riêng theo $x, y, z$: $dQ_1 = \frac{\partial Q_1}{\partial x} dx + \frac{\partial Q_1}{\partial y} dy + \frac{\partial Q_1}{\partial z} dz$ và $dQ_2 = \frac{\partial Q_2}{\partial x} dx + \frac{\partial Q_2}{\partial y} dy + \frac{\partial Q_2}{\partial z} dz$. Thay các biểu thức này vào $dg_1=0$ và $dg_2=0$, ta sẽ có các phương trình liên hệ các hệ số của $dx, dy, dz$. Để tính $\frac{\partial Q_1}{\partial x}$, ta xét trường hợp $dy=dz=0$, từ đó suy ra mối liên hệ giữa $dQ_1, dQ_2$ và $dx$. Để tính $\frac{\partial Q_2}{\partial z}$, ta xét trường hợp $dx=dy=0$, từ đó suy ra mối liên hệ giữa $dQ_1, dQ_2$ và $dz$. Tuy nhiên, cách tiếp cận hiệu quả hơn là sử dụng định lý hàm ẩn trực tiếp. Đặt $F_1(Q_1, Q_2, x, y, z) = xQ_1^2 + yQ_2 - 5z^2 = 0$ và $F_2(Q_1, Q_2, x, y, z) = Q_1^2 + Q_2^2 - 10z = 0$. Theo định lý hàm ẩn, ta có: $\frac{\partial Q_1}{\partial x} = -\frac{\det \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x} & \frac{\partial F_1}{\partial Q_2} \\ \frac{\partial F_2}{\partial x} & \frac{\partial F_2}{\partial Q_2} \end{pmatrix}}{\det \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial Q_1} & \frac{\partial F_1}{\partial Q_2} \\ \frac{\partial F_2}{\partial Q_1} & \frac{\partial F_2}{\partial Q_2} \end{pmatrix}} $ và $\frac{\partial Q_2}{\partial z} = -\frac{\det \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial Q_1} & \frac{\partial F_1}{\partial z} \\ \frac{\partial F_2}{\partial Q_1} & \frac{\partial F_2}{\partial z} \end{pmatrix}}{\det \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial Q_1} & \frac{\partial F_1}{\partial Q_2} \\ \frac{\partial F_2}{\partial Q_1} & \frac{\partial F_2}{\partial Q_2} \end{pmatrix}} $ Tính các đạo hàm riêng cần thiết: $\frac{\partial F_1}{\partial Q_1} = 2xQ_1$ $\frac{\partial F_1}{\partial Q_2} = y$ $\frac{\partial F_1}{\partial x} = Q_1^2$ $\frac{\partial F_1}{\partial z} = -10z$ $\frac{\partial F_2}{\partial Q_1} = 2Q_1$ $\frac{\partial F_2}{\partial Q_2} = 2Q_2$ $\frac{\partial F_2}{\partial x} = 0$ $\frac{\partial F_2}{\partial z} = -10$ Tính định thức mẫu số (Jacobian của $F_1, F_2$ theo $Q_1, Q_2$): $J = \det \begin{pmatrix} 2xQ_1 & y \\ 2Q_1 & 2Q_2 \end{pmatrix} = (2xQ_1)(2Q_2) - y(2Q_1) = 4xQ_1Q_2 - 2yQ_1 = 2Q_1(2xQ_2 - y)$ Nếu $J \neq 0$, ta có: Để tính $\frac{\partial Q_1}{\partial x}$: Numerator = $\det \begin{pmatrix} Q_1^2 & y \\ 0 & 2Q_2 \end{pmatrix} = Q_1^2(2Q_2) - y(0) = 2Q_1^2Q_2$ $\frac{\partial Q_1}{\partial x} = -\frac{2Q_1^2Q_2}{2Q_1(2xQ_2 - y)} = -\frac{Q_1Q_2}{2xQ_2 - y}$ Để tính $\frac{\partial Q_2}{\partial z}$: Numerator = $\det \begin{pmatrix} 2xQ_1 & -10z \\ 2Q_1 & -10 \end{pmatrix} = (2xQ_1)(-10) - (-10z)(2Q_1) = -20xQ_1 + 20zQ_1 = 20Q_1(z - x)$ $\frac{\partial Q_2}{\partial z} = -\frac{20Q_1(z - x)}{2Q_1(2xQ_2 - y)} = -\frac{10(z - x)}{2xQ_2 - y} = \frac{10(x - z)}{2xQ_2 - y}$ Vậy, lời giải chi tiết bao gồm việc tính toán các đạo hàm riêng, xác định định thức và áp dụng công thức đạo hàm hàm ẩn. Bài toán không cung cấp các giá trị cụ thể cho $Q_1, Q_2, x, y, z$ nên kết quả sẽ phụ thuộc vào các biến này.