JavaScript is required

Đầu ra y = f(x) của một sản phẩm nào đó phụ thuộc vào yếu tố đầu vào x theo mô hình sau

\[ f(x) = -x^2 + 4ax + 10a^4, \]

trong đó a > 0 là một tham số. Anh/Chị hãy xác định yếu tố đầu vào x* = x*(a) để sản lượng đầu ra đạt được lớn nhất.

Đặt f*(a) = f(x*) là sản lượng đầu ra lớn nhất. Ứng dụng Định lý Bao, tính \[ \frac{d f^*(a)}{da}, \] từ đó xác định sự ảnh hưởng của $a$ lên sản lượng cực đại f*(a).

Trả lời:

Đáp án đúng:


Câu hỏi yêu cầu chúng ta thực hiện hai phần chính. Phần thứ nhất là xác định giá trị của yếu tố đầu vào $x$ để hàm sản lượng $f(x) = -x^2 + 4ax + 10a^4$ đạt cực đại, với điều kiện $a > 0$. Đây là bài toán tối ưu hóa cơ bản. Để tìm cực đại của hàm số, chúng ta cần tính đạo hàm bậc nhất theo $x$ và cho bằng 0. Ta có đạo hàm của $f(x)$ theo $x$ là $\frac{df}{dx} = -2x + 4a$. Cho $\frac{df}{dx} = 0$, ta có $-2x + 4a = 0$, suy ra $x = 2a$. Để kiểm tra đây là điểm cực đại, ta tính đạo hàm bậc hai theo $x$: $\frac{d^2f}{dx^2} = -2$. Vì đạo hàm bậc hai âm, nên $x = 2a$ là điểm cực đại của hàm số $f(x)$. Vậy, yếu tố đầu vào để sản lượng đạt lớn nhất là $x^* = 2a$. Phần thứ hai của câu hỏi yêu cầu áp dụng Định lý Bao (Envelope Theorem) để tính $\frac{df^*(a)}{da}$, trong đó $f^*(a) = f(x^*(a))$ là sản lượng đầu ra lớn nhất. Định lý Bao phát biểu rằng, nếu một hàm mục tiêu phụ thuộc vào một tham số, thì đạo hàm của hàm mục tiêu đó theo tham số đó bằng đạo hàm riêng của hàm mục tiêu theo tham số đó, tại điểm tối ưu. Trong trường hợp này, hàm mục tiêu là $f(x, a) = -x^2 + 4ax + 10a^4$, và chúng ta đã tìm được $x^*(a) = 2a$ là điểm tối ưu theo $x$. Theo Định lý Bao, ta có $\frac{df^*(a)}{da} = \frac{\partial f}{\partial a}|_{x=x^*(a)}$. Ta tính đạo hàm riêng của $f(x, a)$ theo $a$: $\frac{\partial f}{\partial a} = 4x + 40a^3$. Thay $x = x^*(a) = 2a$ vào biểu thức đạo hàm riêng này: $\frac{\partial f}{\partial a}|_{x=2a} = 4(2a) + 40a^3 = 8a + 40a^3$. Vậy, $\frac{df^*(a)}{da} = 8a + 40a^3$. Ý nghĩa của kết quả này là sự thay đổi của sản lượng cực đại $f^*(a)$ khi tham số $a$ thay đổi. Vì $a > 0$, nên $8a > 0$ và $40a^3 > 0$. Do đó, $\frac{df^*(a)}{da} > 0$. Điều này cho thấy sản lượng cực đại $f^*(a)$ tăng khi tham số $a$ tăng. Nói cách khác, sự gia tăng của tham số $a$ (với $a>0$) sẽ dẫn đến sự gia tăng của sản lượng tối ưu.

Đề thi cuối kỳ môn Toán kinh tế 2 của Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP HCM, học kỳ 3, năm học 2024-2025. Đề thi bao gồm các bài tập về vi phân toàn phần, cực trị trong kinh tế, tích phân, biến ngẫu nhiên, phương trình vi phân và sai phân.


6 câu hỏi 90 phút

Câu hỏi liên quan