JavaScript is required

a. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ \[ p(x) = \begin{cases} kxe^{-2x}, & \text{nếu } x \geq 0, \\[6pt] 0, & \text{nếu } x < 0. \end{cases} \]

Xác định hằng số k.

b. Một công ty quảng cáo được thuê để quảng bá một chương trình truyền hình mới trong vòng 6 tuần. Sau t tuần (kể từ khi chương trình quảng bá bắt đầu), người ta thấy rằng số phần trăm công chúng xem truyền hình biết đến chương trình là

\[ P(t) = \frac{50t}{0.6t^{2} + 15} + 5. \]

Tỷ lệ phần trăm trung bình người xem truyền hình biết đến chương trình trong 6 tuần của chiến dịch quảng cáo là bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng:


Phần a yêu cầu tìm hằng số k cho hàm mật độ xác suất $p(x) = kxe^{-2x}$ với $x \geq 0$. Để là hàm mật độ xác suất, tích phân của nó trên toàn miền xác định phải bằng 1. Ta có $\int_0^\infty kxe^{-2x} dx = 1$. Sử dụng tích phân từng phần với $u=kx$, $dv=e^{-2x}dx$, ta suy ra $du=kdx$, $v=-\frac{1}{2}e^{-2x}$. Tích phân trở thành $[-\frac{1}{2}kxe^{-2x}]_0^\infty - \int_0^\infty -\frac{1}{2}ke^{-2x}dx = 1$. Giới hạn đầu tiên bằng 0. Ta còn lại $\frac{k}{2}\int_0^\infty e^{-2x}dx = 1$. Tích phân của $e^{-2x}$ là $-\frac{1}{2}e^{-2x}$. Vậy $\frac{k}{2}[-\frac{1}{2}e^{-2x}]_0^\infty = 1$, suy ra $\frac{k}{2}(0 - (-\frac{1}{2})) = 1$, tức là $\frac{k}{4}=1$, hay $k=4$. \n\nPhần b yêu cầu tính tỷ lệ phần trăm trung bình người xem truyền hình biết đến chương trình trong 6 tuần, với $P(t) = \frac{50t}{0.6t^2 + 15} + 5$. Giá trị trung bình của hàm $P(t)$ trên khoảng $[0, 6]$ là $\frac{1}{6-0}\int_0^6 P(t) dt = \frac{1}{6}\int_0^6 (\frac{50t}{0.6t^2 + 15} + 5) dt$. Ta tách thành hai tích phân: $\int_0^6 \frac{50t}{0.6t^2 + 15} dt$ và $\int_0^6 5 dt$. Với tích phân đầu, đặt $u = 0.6t^2 + 15$, $du = 1.2t dt$. Khi $t=0$, $u=15$. Khi $t=6$, $u = 0.6(36)+15 = 21.6+15 = 36.6$. Tích phân trở thành $\int_{15}^{36.6} \frac{50}{1.2u} du = \frac{50}{1.2} [\ln|u|]_{15}^{36.6} = \frac{125}{3}(\ln(36.6) - \ln(15)) = \frac{125}{3}\ln(\frac{36.6}{15}) = \frac{125}{3}\ln(2.44)$. Tích phân thứ hai là $[5t]_0^6 = 30$. \n\nVậy, giá trị trung bình là $\frac{1}{6}(\frac{125}{3}\ln(2.44) + 30) = \frac{125}{18}\ln(2.44) + 5$. \nSử dụng $\ln(2.44) \approx 0.892$, giá trị trung bình xấp xỉ $\frac{125}{18} \times 0.892 + 5 \approx 6.944 \times 0.892 + 5 \approx 6.196 + 5 = 11.196$. \nLàm tròn đến một chữ số thập phân, ta được 11.2%.

Đề thi cuối kỳ môn Toán kinh tế 2 của Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP HCM, học kỳ 3, năm học 2024-2025. Đề thi bao gồm các bài tập về vi phân toàn phần, cực trị trong kinh tế, tích phân, biến ngẫu nhiên, phương trình vi phân và sai phân.


6 câu hỏi 90 phút

Câu hỏi liên quan