Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và quan hệ tương đương R trên A như sau: R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (1,2), (2,1), (4,5), (5,4)}. Xác định phân hoạch do R sinh ra.

Biểu thức hằng đúng là?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Biểu thức hằng đúng (tautology) là biểu thức logic luôn luôn đúng, bất kể giá trị chân lý của các biến mệnh đề trong biểu thức đó là gì. Điều này có nghĩa là, cho dù các biến mệnh đề nhận giá trị đúng (True) hay sai (False) thì biểu thức vẫn luôn cho ra kết quả là đúng (True).

* Phương án A: Sai. Biểu thức chỉ đúng khi các biến mệnh đề đúng không phải là định nghĩa của hằng đúng. Hằng đúng phải đúng trong mọi trường hợp.
* Phương án B: Đúng. Đây chính là định nghĩa của biểu thức hằng đúng.
* Phương án C: Sai. Biểu thức nhận chân trị sai trong mọi trường hợp là biểu thức hằng sai (contradiction), không phải hằng đúng.
* Phương án D: Sai. Biểu thức chỉ sai khi các biến mệnh đề sai không phải là định nghĩa của hằng đúng. Hằng đúng phải đúng trong mọi trường hợp.

Câu 19:

Để chứng minh tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6, người ta chứng minh như sau:

- Đặt P(n) = n(n+1)(n+2). P(n) chia hết cho 6 với n>0.

- Ta có, với n = 1; P(1) = 1.2.3 = 6, chia hết cho 6

- Giả sử P(n) đúng, ta đi chứng minh (n+1)(n+2)(n+3) chia hết cho 6.

- Ta có, (n+1)(n+2)(n+3) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)(n+2).

- Ta đã có n(n+1)(n+2) chia hết cho 6. Mặt khác (n+1)(n+2) luôn chia hết cho 2 (kết quả này đã được chứng minh). Do vậy, 3(n+1)(n+2) chia hết cho 6. Như vậy ta được điều phải chứng minh.

Đoạn trên sử dụng phương pháp nào?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Phương pháp chứng minh quy nạp được sử dụng ở đây là quy nạp yếu.

Giải thích:
- Bước 1 (Cơ sở quy nạp): Chứng minh mệnh đề đúng với n = 1.
- Bước 2 (Giả thiết quy nạp): Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k > 1).
- Bước 3 (Bước quy nạp): Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1, dựa trên giả thiết quy nạp.

Trong bài toán này:
- Cơ sở quy nạp: P(1) chia hết cho 6.
- Giả thiết quy nạp: P(n) chia hết cho 6.
- Bước quy nạp: Chứng minh P(n+1) chia hết cho 6, dựa vào P(n) chia hết cho 6.

Chứng minh quy nạp mạnh khác với quy nạp yếu ở chỗ, trong bước quy nạp, ta giả sử mệnh đề đúng với mọi n ≤ k, chứ không chỉ đúng với n = k. Vì ở đây chúng ta chỉ giả sử P(n) đúng để chứng minh P(n+1) đúng nên đây là quy nạp yếu.

Câu 20:

Cho A và B là hai tập hợp. Hiệu của A và B được ký hiệu A-B, là.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Hiệu của hai tập hợp A và B (ký hiệu A - B) là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.

Vậy đáp án đúng là: C. Tập chứa các phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B.

Câu 21:

Cho A và B là hai tập hợp. Hiệu đối xứng của A và B được ký hiệu A - B, là.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B, ký hiệu A Δ B, là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B, nhưng không thuộc cả A và B. Nói cách khác, A Δ B = (A − B) ∪ (B − A), tức là hợp của phần A chỉ chứa các phần tử thuộc A mà không thuộc B và phần B chỉ chứa các phần tử thuộc B mà không thuộc A.

Phương án A sai vì nó bao gồm cả các phần tử thuộc cả A và B, điều này không đúng với định nghĩa hiệu đối xứng.
Phương án C và D sai vì chúng đề cập đến các phần tử thuộc A và thuộc B, điều này không phản ánh đúng ý nghĩa của hiệu đối xứng.
Phương án B đúng vì nó chính xác mô tả định nghĩa của hiệu đối xứng, chỉ bao gồm các phần tử thuộc A hoặc B nhưng không thuộc cả hai.

Câu 22:

Quan hệ thứ tự là một quan hệ 2 ngôi và có các tính chất.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Quan hệ thứ tự là một quan hệ hai ngôi có ba tính chất quan trọng: tính phản xạ (mọi phần tử liên quan đến chính nó), tính phản đối xứng (nếu a liên quan đến b và b liên quan đến a thì a và b phải bằng nhau), và tính bắc cầu (nếu a liên quan đến b và b liên quan đến c thì a liên quan đến c). Do đó, đáp án C là đáp án chính xác nhất.

Câu 23:

Cho A = {a, b, c, e} ; B = {c, d, f, g}. Tập A - B là.

Lời giải: