Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Đặt tại các đỉnh A, B, C các chất điểm có khối lượng bằng nhau và bằng m. Đặt thêm một chất điểm có khối lượng 3m tại A. Mômen quán tính đối với trục quay đi qua khối tâm của hệ và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là:
Đáp án đúng: B
Câu hỏi liên quan
Hình trụ chịu tác dụng của trọng lực \(\vec{P}\) và lực căng dây \(\vec{T}\).
Áp dụng định luật II Newton cho chuyển động tịnh tiến của hình trụ:
\[\vec{P} + \vec{T} = m\vec{a}\]
Chiếu lên phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống:
\[P - T = ma \Rightarrow mg - T = ma \quad (1)\]
Áp dụng phương trình mô men lực đối với trục quay của hình trụ:
\[\tau = I\gamma\]
Trong đó:
* \(\tau = T.R\) là mô men lực căng dây.
* \(I = mR^2\) là mô men quán tính của hình trụ rỗng.
* \(\gamma = \frac{a}{R}\) là gia tốc góc.
Suy ra:
\[T.R = mR^2.\frac{a}{R} \Rightarrow T = ma \quad (2)\]
Thay (2) vào (1) ta được:
\[mg - ma = ma \Rightarrow mg = 2ma \Rightarrow a = \frac{g}{2} = \frac{10}{2} = 5 (m/s^2)\]
Thay vào (2) ta được:
\[T = ma = 4.5 = 20 (N)\]
Để giải bài toán này, ta cần áp dụng công thức tính chu kì dao động của con lắc vật lý:
$$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$$,
trong đó:
- I là momen quán tính của vật đối với trục quay.
- m là khối lượng của vật.
- g là gia tốc trọng trường.
- d là khoảng cách từ trục quay đến trọng tâm của vật.
Trong trường hợp này, vật là một thanh đồng chất, trục quay đi qua một đầu của thanh. Do đó:
- Momen quán tính của thanh đối với trục quay là $$I = \frac{1}{3}mL^2$$, với L là chiều dài của thanh.
- Khoảng cách từ trục quay đến trọng tâm của thanh là $$d = \frac{L}{2}$$.
Thay các giá trị vào công thức chu kì, ta được:
$$T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{3}mL^2}{mg\frac{L}{2}}} = 2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}$$.
Với L = 24cm = 0,24m và g = 9,8 m/s², ta có:
$$T = 2\pi \sqrt{\frac{2 \cdot 0,24}{3 \cdot 9,8}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,48}{29,4}} = 2\pi \sqrt{0,01633} \approx 2 \cdot 3,13 \cdot 0,1278 \approx 0,80 s$$.
Vậy chu kì dao động nhỏ của thước là khoảng 0,80s.
Khi bỏ qua sức cản của không khí, cả hòn bi sắt và lông chim đều chịu tác dụng của trọng lực và rơi với cùng một gia tốc, được gọi là gia tốc trọng trường (g). Điều này có nghĩa là vận tốc của chúng tăng lên như nhau theo thời gian. Do đó, chúng sẽ rơi nhanh như nhau.
Phân tích lực:
* Lực kéo \(\vec{F}\) được phân tích thành hai thành phần:
* \(F_x = F \cos(\alpha)\) (phương ngang)
* \(F_y = F \sin(\alpha)\) (phương thẳng đứng)
* Trọng lực \(\vec{P} = m\vec{g}\)
* Phản lực \(\vec{N}\) từ mặt sàn
* Lực ma sát trượt \(\vec{F}_{ms}\)
Áp dụng định luật 2 Newton:
* Phương thẳng đứng: \(N + F_y = P \Rightarrow N = mg - F \sin(\alpha)\)
* Độ lớn lực ma sát: \(F_{ms} = \mu N = \mu (mg - F \sin(\alpha))\)
* Phương ngang: \(F_x - F_{ms} = ma\Rightarrow F\cos(\alpha) - \mu(mg - F\sin(\alpha)) = ma\)
Từ đó suy ra gia tốc:
\[a = \frac{F\cos(\alpha) - \mu(mg - F\sin(\alpha))}{m} = \frac{F}{m}(\cos(\alpha) + \mu \sin(\alpha)) - \mu g\]
Để gia tốc \(a\) lớn nhất, biểu thức \(\cos(\alpha) + \mu \sin(\alpha)\) phải lớn nhất. Đặt
\[f(\alpha) = \cos(\alpha) + \mu \sin(\alpha)\]
Để tìm giá trị lớn nhất của \(f(\alpha)\), ta lấy đạo hàm và giải phương trình:
\[f'(\alpha) = -\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha) = 0 \Rightarrow \tan(\alpha) = \mu\]
Vì \(\mu = 0.577 \approx \frac{1}{\sqrt{3}}\), suy ra \(\alpha = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 30^o\)
Vậy góc \(\alpha = 30^o\) để gia tốc lớn nhất.
Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả tính toán. Do đó, câu hỏi này không có đáp án đúng.
Để giải bài toán này, ta cần phân tích các lực tác dụng lên vật và áp dụng định luật II Newton.
Các lực tác dụng lên vật bao gồm:
- Lực kéo \(\vec{F}\)
- Trọng lực \(\vec{P} = m\vec{g}\)
- Phản lực của sàn \(\vec{N}\)
- Lực ma sát trượt \(\vec{F}_{ms}\)
Chọn hệ trục tọa độ Oxy, với trục Ox nằm ngang theo hướng chuyển động của vật, trục Oy thẳng đứng hướng lên.
Chiếu các lực lên trục Ox:
\(F_x = F\cos{\alpha} - F_{ms}\)
Chiếu các lực lên trục Oy:
\(N + F\sin{\alpha} - P = 0 \Rightarrow N = P - F\sin{\alpha} = mg - F\sin{\alpha}\)
Lực ma sát trượt được tính bằng:
\(F_{ms} = \mu N = \mu (mg - F\sin{\alpha})\)
Áp dụng định luật II Newton cho trục Ox:
\(F_x = ma\Rightarrow ma = F\cos{\alpha} - \mu (mg - F\sin{\alpha})\)
\(ma = F\cos{\alpha} - \mu mg + \mu F\sin{\alpha}\)
\(ma = F(\cos{\alpha} + \mu \sin{\alpha}) - \mu mg\)
\(a = \frac{F(\cos{\alpha} + \mu \sin{\alpha}) - \mu mg}{m}\)
Vậy đáp án đúng là: a=F(cosα+μsinα)−μmgma=F(cosα+μsinα)−μmgm
