Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&{ - 1} \end{array}} \right]\) và \(f(x) = 2{x^2} + 4x - 3\). Tính định thức của ma trận f(A).

-45

Các câu kia đều sai

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Ta có ma trận A là ma trận tam giác trên, nên các giá trị riêng của A là các phần tử trên đường chéo chính: 1, 1, -1. Khi đó, các giá trị riêng của f(A) là f(1), f(1), f(-1). Ta có: f(1) = 2*(1)^2 + 4*1 - 3 = 2 + 4 - 3 = 3 f(-1) = 2*(-1)^2 + 4*(-1) - 3 = 2 - 4 - 3 = -5 Vậy các giá trị riêng của f(A) là 3, 3, -5. Định thức của ma trận f(A) bằng tích các giá trị riêng của nó. Do đó: det(f(A)) = 3 * 3 * (-5) = -45 Vậy đáp án đúng là -45.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 1

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 31:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có nghiệm khác không \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 2z = 0\\ x + 3y + 2z + 2t = 0\\ x + 2y + z + 2t = 0\\ x + y + z + mt = 0 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để hệ phương trình có nghiệm khác không, định thức của ma trận hệ số phải bằng 0. Ta lập ma trận hệ số A: \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & m \end{bmatrix}\) Tính định thức của A. Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đơn giản ma trận: R2 = R2 - R1, R3 = R3 - R1, R4 = R4 - R1 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & -1 & m \end{bmatrix}\) R4 = R4 + R2 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & m+2 \end{bmatrix}\) R4 = R4 - R3 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & m \end{bmatrix}\) Định thức của A là: det(A) = 1 * 1 * (-1) * m = -m Để hệ có nghiệm khác không thì det(A) = 0 => -m = 0 => m = 0. Vậy m = 0 thì hệ phương trình có nghiệm khác không.

Câu 32:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau vô số nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2z = 2{\rm{ }}\\ 2x + y + 3z = 5{\rm{ }}\\ 3x + my + 7z = m + 2 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để hệ phương trình có vô số nghiệm, hạng của ma trận hệ số phải bằng hạng của ma trận bổ sung và nhỏ hơn số ẩn (ở đây là 3). Ta xét ma trận hệ số mở rộng: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&2\\ 2&1&3&5\\ 3&m&7&{m + 2} \end{array}} \right]\) Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng: * \({R_2} \to {R_2} - 2{R_1}\) * \({R_3} \to {R_3} - 3{R_1}\) Ta được: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&2\\ 0&{ - 1}&{ - 1}&1\\ 0&{m - 3}&1&{m - 4} \end{array}} \right]\) Tiếp tục biến đổi \({R_3} \to {R_3} + (m - 3){R_2}\), ta được: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&2\\ 0&{ - 1}&{ - 1}&1\\ 0&0&{ - m + 4}&{2m - 7} \end{array}} \right]\) Để hệ có vô số nghiệm, ta cần: \(\left\{ \begin{array}{l} - m + 4 = 0{\rm{ }}\\ 2m - 7 = 0 \end{array} \right.\) Tuy nhiên, không có giá trị m nào thỏa mãn cả hai điều kiện trên. Vậy, không tồn tại m để hệ có vô số nghiệm.

Câu 33:

Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường?

\(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + z = 0{\rm{ }}\\ 2x + y + 3z = 0{\rm{ }}\\ 3x + 3y + mz = 0 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường (khác nghiệm (0, 0, 0)), định thức của ma trận hệ số phải bằng 0. Ma trận hệ số của hệ phương trình là: \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & m \end{bmatrix}\) Tính định thức của ma trận này: \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & m \end{vmatrix} = 1(m - 9) - 2(2m - 9) + 1(6 - 3) = m - 9 - 4m + 18 + 3 = -3m + 12\) Để hệ có nghiệm không tầm thường, định thức phải bằng 0: \(-3m + 12 = 0 \Rightarrow 3m = 12 \Rightarrow m = 4\) Vậy, giá trị của m là 4.

Câu 34:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau tương đương:

\(\left\{ \begin{array}{l} x + y + z + 2t = 1{\rm{ }}\\ x + 3y + 4z + 5t = 3{\rm{ }}\\ 3x + 2y + 2z + 7t = 5 \end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 3z + 3t = 2{\rm{ }}\\ 2x + y + z{\rm{ }} + {\rm{ }}5t = 4{\rm{ }}\\ 5x + 4y + 4z + 11t = 7{\rm{ }}\\ 3x + 6y + 9z + mt = 6 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để hai hệ phương trình tương đương, chúng phải có cùng tập nghiệm. Ta biến đổi hệ thứ nhất: \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + z + 2t = 1{\rm{ }}\\ x + 3y + 4z + 5t = 3{\rm{ }}\\ 3x + 2y + 2z + 7t = 5 \end{array} \right.\) Lấy phương trình (2) trừ phương trình (1), ta được: \(2y + 3z + 3t = 2\). Lấy phương trình (3) trừ 3 lần phương trình (1), ta được: \(-y - z + t = 2\). Vậy hệ (1) tương đương với: \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + z + 2t = 1{\rm{ }}\\ 2y + 3z + 3t = 2{\rm{ }}\\ - y - z + t = 2 \end{array} \right.\) Nhân phương trình (3) với 2 rồi cộng với phương trình (2), ta được: \(5t = 6\) hay \(t = \frac{6}{5}\). Thay \(t = \frac{6}{5}\) vào phương trình (3), ta được: \( - y - z = 2 - \frac{6}{5} = \frac{4}{5}\) hay \(y + z = - \frac{4}{5}\). Thay \(t = \frac{6}{5}\) và \(y + z = - \frac{4}{5}\) vào phương trình (1), ta được: \(x - \frac{4}{5} + 2.\frac{6}{5} = 1\) hay \(x = 1 + \frac{4}{5} - \frac{12}{5} = \frac{-3}{5}\). Vậy nghiệm của hệ (1) có dạng: \((x, y, z, t) = ( - \frac{3}{5}, y, - \frac{4}{5} - y, \frac{6}{5})\). Ta xét hệ thứ hai: \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 3z + 3t = 2{\rm{ }}\\ 2x + y + z{\rm{ }} + {\rm{ }}5t = 4{\rm{ }}\\ 5x + 4y + 4z + 11t = 7{\rm{ }}\\ 3x + 6y + 9z + mt = 6 \end{array} \right.\) Thay \((x, y, z, t) = ( - \frac{3}{5}, y, - \frac{4}{5} - y, \frac{6}{5})\) vào các phương trình của hệ (2): (1): \(- \frac{3}{5} + 2y + 3( - \frac{4}{5} - y) + 3.\frac{6}{5} = 2\) hay \(-y - \frac{3}{5} - \frac{12}{5} + \frac{18}{5} = 2\) hay \(-y + \frac{3}{5} = 2\) hay \(y = - \frac{7}{5}\). (2): \(2( - \frac{3}{5}) + y + ( - \frac{4}{5} - y) + 5.\frac{6}{5} = 4\) hay \(- \frac{6}{5} - \frac{4}{5} + \frac{30}{5} = 4\) hay \(4 = 4\) (luôn đúng). (3): \(5( - \frac{3}{5}) + 4y + 4( - \frac{4}{5} - y) + 11.\frac{6}{5} = 7\) hay \(-3 - \frac{16}{5} + \frac{66}{5} = 7\) hay \(- \frac{15}{5} - \frac{16}{5} + \frac{66}{5} = \frac{35}{5}\) hay \(\frac{35}{5} = \frac{35}{5}\) (luôn đúng). (4): \(3( - \frac{3}{5}) + 6y + 9( - \frac{4}{5} - y) + m.\frac{6}{5} = 6\) hay \(- \frac{9}{5} - 3y - \frac{36}{5} + \frac{6m}{5} = 6\) hay \(-3y - 9 + \frac{6m}{5} = 6\) hay \(\frac{6m}{5} = 15 + 3y\) hay \(\frac{6m}{5} = 15 + 3( - \frac{7}{5}) = 15 - \frac{21}{5} = \frac{54}{5}\) hay \(6m = 54\) hay \(m = 9\). Vậy \(m = 9\) thì hai hệ phương trình tương đương.

Câu 35:

Với giá trị nào của m thì không gian nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2z - t{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 2x + 3y + z + t{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ - x + y + z + mt{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \end{array} \right.\) có chiều bằng 1.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm giá trị của m sao cho không gian nghiệm của hệ có chiều bằng 1, ta cần tìm điều kiện để hệ phương trình có hạng (rank) bằng 3 (vì số ẩn là 4, và chiều của không gian nghiệm = số ẩn - hạng của ma trận hệ số). Khi đó, không gian nghiệm sẽ có chiều 4 - 3 = 1. Ta xét ma trận hệ số của hệ phương trình: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&{ - 1}\\ 2&3&1&1\\n{ - 1}&1&1&m \end{array}} \right]\) Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận về dạng bậc thang: H2 = H2 - 2H1, H3 = H3 + H1: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&{ - 1}\\ 0&1&{ - 3}&3\\n0&2&3&{m - 1} \end{array}} \right]\) H3 = H3 - 2H2: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&{ - 1}\\ 0&1&{ - 3}&3\\n0&0&9&{m - 7} \end{array}} \right]\) Để hạng của ma trận bằng 3, ta cần có phần tử (3,3) khác 0, tức là \(m - 7 \ne 0\) hay \(m \ne 7\). Tuy nhiên, nếu \(m = 7\), thì hạng của ma trận là 2 vì H3 là tổ hợp tuyến tính của H1 và H2. Do đó, chiều của không gian nghiệm là 4 - 2 = 2, không phải 1. Như vậy, cần tìm m để hạng của ma trận bằng 3, tức là \(m \ne 7\). Nếu m = 7 thì dòng cuối cùng sẽ là dòng 0, khi đó rank = 2 và số chiều không gian nghiệm là 4-2=2 > 1. Do đó m khác 7. Khi đó số chiều không gian nghiệm là 1. Vậy đáp án đúng là \(m \ne 7\).

Câu 36:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có nghiệm khác không \(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {{\rm{ }}3{\rm{ }} - {\rm{ }}m} \right){\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y{\rm{ }} - {\rm{ }}5z{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y{\rm{ }} + {\rm{ }}mz{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \end{array} \right.\)

Lời giải: