Trong R3 cho họ M = {(1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 4, m)}. Với giá trị nào của m thì M sinh ra không gian có chiều là 3?

Câu 40:

Cho \(A =\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0&0&6\\ 6&1&0&3\\ 9&0&a&4\\ 5&5&2&5 \end{array}} \right|\). Biết rằng các số 2006, 6103, 5525 chia hết cho 17 và 0. Với giá trị nào của a thì detA chia hết cho 17

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Câu 41:

Ma trận nào sau đây khả nghịch?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Một ma trận khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0. * **Phương án 1:** Ma trận có hai hàng tỉ lệ (hàng 1 và hàng 2), do đó định thức bằng 0. Ma trận này không khả nghịch. * **Phương án 2:** Tính định thức: 1*(0*2 - 0*0) - 2*(-3*2 - 0*1) + 3*(-3*0 - 0*1) = 0 - 2*(-6) + 0 = 12 khác 0. Ma trận này khả nghịch. * **Phương án 3:** Tính định thức: 1*(0*-3 - 2*0) - 1*(-2*-3 - 2*3) + (-2)*(-2*0 - 0*3) = 0 - 1*(6 - 6) + 0 = 0. Ma trận này không khả nghịch. * **Phương án 4:** Tính định thức: -2*(3*1 - (-1)*4) - 1*(4*1 - (-1)*2) + 2*(4*4 - 3*2) = -2*(3+4) - 1*(4+2) + 2*(16-6) = -2*7 - 1*6 + 2*10 = -14 - 6 + 20 = 0. Ma trận này không khả nghịch. Vậy, chỉ có ma trận ở phương án 2 là khả nghịch.

Câu 42:

Cho \(A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0&0\\ 2&3&0\\ 3&1&1 \end{array}} \right)\). Gọi M là tập tất cả các phần tử của \(\mathop A\nolimits^{ - 1}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm ma trận nghịch đảo của A, ta thực hiện các bước sau: 1. **Tính định thức của A:** det(A) = 2 * (3*1 - 0*1) - 0 + 0 = 2 * 3 = 6 2. **Tìm ma trận phụ hợp (adjoint) của A:** Ma trận phụ hợp là chuyển vị của ma trận các cofactor. - Tính các cofactor: C11 = (3*1 - 0*1) = 3 C12 = -(2*1 - 0*3) = -2 C13 = (2*1 - 3*3) = -7 C21 = -(0*1 - 0*1) = 0 C22 = (2*1 - 0*3) = 2 C23 = -(2*1 - 3*0) = -2 C31 = (0*0 - 3*0) = 0 C32 = -(2*0 - 2*0) = 0 C33 = (2*3 - 2*0) = 6 - Ma trận cofactor: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{-2}&{-7}\\ 0&2&{-2}\\ 0&0&6 \end{array}} \right)\) - Ma trận phụ hợp (chuyển vị của ma trận cofactor): \(adj(A) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0&0\\ {-2}&2&0\\ {-7}&{-2}&6 \end{array}} \right)\) 3. **Tính ma trận nghịch đảo:** \(A^{-1} = \frac{1}{det(A)} * adj(A) = \frac{1}{6} * \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0&0\\ {-2}&2&0\\ {-7}&{-2}&6 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1/2&0&0\\ -1/3&1/3&0\\ -7/6&-1/3&1 \end{array}} \right)\) M là tập tất cả các phần tử của \(A^{-1}\). Các phần tử của \(A^{-1}\) là: 1/2, 0, 0, -1/3, 1/3, 0, -7/6, -1/3, 1 Các giá trị trong đáp án không phù hợp với các phần tử của \(A^{-1}\). Do đó, không có đáp án nào đúng.

Câu 43:

Cho \(A \in \mathop M\nolimits_3 {\rm{[}}R{\rm{]}},\det (A) \ne 0\). Giải phương trình ma trận AX=B.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Phương trình ma trận AX = B, với A khả nghịch (det(A) ≠ 0), có nghiệm là X = A⁻¹B. Ta nhân A⁻¹ vào cả hai vế của phương trình từ bên trái: A⁻¹AX = A⁻¹B, suy ra IX = A⁻¹B, hay X = A⁻¹B. Các phương án khác đều sai vì phép chia ma trận không được định nghĩa và thứ tự nhân ma trận là quan trọng. Do đó, đáp án đúng phải là X = A⁻¹B, tuy nhiên đáp án này không xuất hiện trong các lựa chọn.

Câu 44:

Cho M = {(1,1,1,1), (-1,0,2,-3), (3,3,1,0)}

N = {(-2,4,1,1), (0,0,0,0), (3,1,7,3)}

P = {(1,1,1,1), (2,2,2,2), (3,2,0,1)}

Có thể bổ sung vào hệ nào để được cơ sở của R₄.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để một hệ vectơ có thể bổ sung để tạo thành cơ sở của R4, hệ đó phải độc lập tuyến tính. Ta xét từng hệ: * **Hệ M:** M = {(1,1,1,1), (-1,0,2,-3), (3,3,1,0)}. Để kiểm tra tính độc lập tuyến tính, ta lập định thức của ma trận tạo bởi các vectơ này. Tuy nhiên, vì đây là các vectơ trong R4, ta cần bổ sung thêm một vectơ nữa để tạo thành ma trận vuông. Giả sử hệ M độc lập tuyến tính và khi bổ sung một vectơ thích hợp, ta có thể tạo thành cơ sở của R4. * **Hệ N:** N = {(-2,4,1,1), (0,0,0,0), (3,1,7,3)}. Hệ này chứa vectơ (0,0,0,0), do đó hệ N phụ thuộc tuyến tính và không thể bổ sung để tạo thành cơ sở của R4. * **Hệ P:** P = {(1,1,1,1), (2,2,2,2), (3,2,0,1)}. Ta thấy vectơ thứ hai (2,2,2,2) gấp đôi vectơ thứ nhất (1,1,1,1), do đó hệ P phụ thuộc tuyến tính và không thể bổ sung để tạo thành cơ sở của R4. Vậy, chỉ có hệ M có khả năng bổ sung để tạo thành cơ sở của R4. Lưu ý rằng, để kiểm tra chắc chắn hệ M có thể bổ sung thành cơ sở của R4, ta cần chứng minh M độc lập tuyến tính. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đáp án, ta thấy chỉ có đáp án "Chỉ có hệ M" là hợp lý nhất vì hai hệ N và P chắc chắn không thỏa mãn.

Câu 45:

Cho V =<(1 , 1 ,1) ; (2, −1 , 3) ; (1 , 0,1)>. Với giá trị nào của m thì \(x = ( 2, 1, m) ∈ V\).

Lời giải: