Tìm tất cả m để hệ phương trình sau vô số nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2z = 2{\rm{ }}\\ 2x + y + 3z = 5{\rm{ }}\\ 3x + my + 7z = m + 2 \end{array} \right.\)

Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường?

\(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + z = 0{\rm{ }}\\ 2x + y + 3z = 0{\rm{ }}\\ 3x + 3y + mz = 0 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường (khác nghiệm (0, 0, 0)), định thức của ma trận hệ số phải bằng 0. Ma trận hệ số của hệ phương trình là: \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & m \end{bmatrix}\) Tính định thức của ma trận này: \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & m \end{vmatrix} = 1(m - 9) - 2(2m - 9) + 1(6 - 3) = m - 9 - 4m + 18 + 3 = -3m + 12\) Để hệ có nghiệm không tầm thường, định thức phải bằng 0: \(-3m + 12 = 0 \Rightarrow 3m = 12 \Rightarrow m = 4\) Vậy, giá trị của m là 4.

Câu 34:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau tương đương:

\(\left\{ \begin{array}{l} x + y + z + 2t = 1{\rm{ }}\\ x + 3y + 4z + 5t = 3{\rm{ }}\\ 3x + 2y + 2z + 7t = 5 \end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 3z + 3t = 2{\rm{ }}\\ 2x + y + z{\rm{ }} + {\rm{ }}5t = 4{\rm{ }}\\ 5x + 4y + 4z + 11t = 7{\rm{ }}\\ 3x + 6y + 9z + mt = 6 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để hai hệ phương trình tương đương, chúng phải có cùng tập nghiệm. Ta biến đổi hệ thứ nhất: \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + z + 2t = 1{\rm{ }}\\ x + 3y + 4z + 5t = 3{\rm{ }}\\ 3x + 2y + 2z + 7t = 5 \end{array} \right.\) Lấy phương trình (2) trừ phương trình (1), ta được: \(2y + 3z + 3t = 2\). Lấy phương trình (3) trừ 3 lần phương trình (1), ta được: \(-y - z + t = 2\). Vậy hệ (1) tương đương với: \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + z + 2t = 1{\rm{ }}\\ 2y + 3z + 3t = 2{\rm{ }}\\ - y - z + t = 2 \end{array} \right.\) Nhân phương trình (3) với 2 rồi cộng với phương trình (2), ta được: \(5t = 6\) hay \(t = \frac{6}{5}\). Thay \(t = \frac{6}{5}\) vào phương trình (3), ta được: \( - y - z = 2 - \frac{6}{5} = \frac{4}{5}\) hay \(y + z = - \frac{4}{5}\). Thay \(t = \frac{6}{5}\) và \(y + z = - \frac{4}{5}\) vào phương trình (1), ta được: \(x - \frac{4}{5} + 2.\frac{6}{5} = 1\) hay \(x = 1 + \frac{4}{5} - \frac{12}{5} = \frac{-3}{5}\). Vậy nghiệm của hệ (1) có dạng: \((x, y, z, t) = ( - \frac{3}{5}, y, - \frac{4}{5} - y, \frac{6}{5})\). Ta xét hệ thứ hai: \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 3z + 3t = 2{\rm{ }}\\ 2x + y + z{\rm{ }} + {\rm{ }}5t = 4{\rm{ }}\\ 5x + 4y + 4z + 11t = 7{\rm{ }}\\ 3x + 6y + 9z + mt = 6 \end{array} \right.\) Thay \((x, y, z, t) = ( - \frac{3}{5}, y, - \frac{4}{5} - y, \frac{6}{5})\) vào các phương trình của hệ (2): (1): \(- \frac{3}{5} + 2y + 3( - \frac{4}{5} - y) + 3.\frac{6}{5} = 2\) hay \(-y - \frac{3}{5} - \frac{12}{5} + \frac{18}{5} = 2\) hay \(-y + \frac{3}{5} = 2\) hay \(y = - \frac{7}{5}\). (2): \(2( - \frac{3}{5}) + y + ( - \frac{4}{5} - y) + 5.\frac{6}{5} = 4\) hay \(- \frac{6}{5} - \frac{4}{5} + \frac{30}{5} = 4\) hay \(4 = 4\) (luôn đúng). (3): \(5( - \frac{3}{5}) + 4y + 4( - \frac{4}{5} - y) + 11.\frac{6}{5} = 7\) hay \(-3 - \frac{16}{5} + \frac{66}{5} = 7\) hay \(- \frac{15}{5} - \frac{16}{5} + \frac{66}{5} = \frac{35}{5}\) hay \(\frac{35}{5} = \frac{35}{5}\) (luôn đúng). (4): \(3( - \frac{3}{5}) + 6y + 9( - \frac{4}{5} - y) + m.\frac{6}{5} = 6\) hay \(- \frac{9}{5} - 3y - \frac{36}{5} + \frac{6m}{5} = 6\) hay \(-3y - 9 + \frac{6m}{5} = 6\) hay \(\frac{6m}{5} = 15 + 3y\) hay \(\frac{6m}{5} = 15 + 3( - \frac{7}{5}) = 15 - \frac{21}{5} = \frac{54}{5}\) hay \(6m = 54\) hay \(m = 9\). Vậy \(m = 9\) thì hai hệ phương trình tương đương.

Câu 35:

Với giá trị nào của m thì không gian nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2z - t{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 2x + 3y + z + t{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ - x + y + z + mt{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \end{array} \right.\) có chiều bằng 1.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm giá trị của m sao cho không gian nghiệm của hệ có chiều bằng 1, ta cần tìm điều kiện để hệ phương trình có hạng (rank) bằng 3 (vì số ẩn là 4, và chiều của không gian nghiệm = số ẩn - hạng của ma trận hệ số). Khi đó, không gian nghiệm sẽ có chiều 4 - 3 = 1. Ta xét ma trận hệ số của hệ phương trình: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&{ - 1}\\ 2&3&1&1\\n{ - 1}&1&1&m \end{array}} \right]\) Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận về dạng bậc thang: H2 = H2 - 2H1, H3 = H3 + H1: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&{ - 1}\\ 0&1&{ - 3}&3\\n0&2&3&{m - 1} \end{array}} \right]\) H3 = H3 - 2H2: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&{ - 1}\\ 0&1&{ - 3}&3\\n0&0&9&{m - 7} \end{array}} \right]\) Để hạng của ma trận bằng 3, ta cần có phần tử (3,3) khác 0, tức là \(m - 7 \ne 0\) hay \(m \ne 7\). Tuy nhiên, nếu \(m = 7\), thì hạng của ma trận là 2 vì H3 là tổ hợp tuyến tính của H1 và H2. Do đó, chiều của không gian nghiệm là 4 - 2 = 2, không phải 1. Như vậy, cần tìm m để hạng của ma trận bằng 3, tức là \(m \ne 7\). Nếu m = 7 thì dòng cuối cùng sẽ là dòng 0, khi đó rank = 2 và số chiều không gian nghiệm là 4-2=2 > 1. Do đó m khác 7. Khi đó số chiều không gian nghiệm là 1. Vậy đáp án đúng là \(m \ne 7\).

Câu 36:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có nghiệm khác không \(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {{\rm{ }}3{\rm{ }} - {\rm{ }}m} \right){\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y{\rm{ }} - {\rm{ }}5z{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y{\rm{ }} + {\rm{ }}mz{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để hệ phương trình thuần nhất có nghiệm khác không thì định thức của ma trận hệ số phải bằng 0. Ta có ma trận hệ số của hệ phương trình là: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{3 - m}\\ 2&3&{ - 5}\\ 3&5&m \end{array}} \right| = 0\) Tính định thức, ta được: \(1\left( {3m + 25} \right) - 2\left( {2m + 15} \right) + \left( {3 - m} \right)\left( {10 - 9} \right) = 0\) \(3m + 25 - 4m - 30 + 3 - m = 0\) \( - 2m - 2 = 0\) \(m = - 1\) Vậy m = -1 thì hệ có nghiệm khác không.

Câu 37:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường: \(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} + {\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}4z{\rm{ }} - {\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} + {\rm{ }}5t{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 4x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} + {\rm{ }}mt{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Hệ phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng 0. Ta có ma trận hệ số của hệ phương trình là: \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & -1 \\ 3 & 1 & 2 & 5 \\ 4 & 6 & 3 & m \end{pmatrix}\) Để tính định thức của ma trận này, ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận về dạng bậc thang. Sau đó, định thức sẽ bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. Bước 1: Trừ 2 lần hàng 1 vào hàng 2, trừ 3 lần hàng 1 vào hàng 3, trừ 4 lần hàng 1 vào hàng 4: \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & -2 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 & m-4 \end{pmatrix}\) Bước 2: Cộng 2 lần hàng 2 vào hàng 3, trừ 2 lần hàng 2 vào hàng 4: \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & -5 & m+2 \end{pmatrix}\) Bước 3: Nhân hàng 3 với 5/3 rồi cộng vào hàng 4: \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & m+2 - \frac{20}{3} \end{pmatrix}\) Định thức của ma trận bằng 0 khi: \(m + 2 - \frac{20}{3} = 0\) \(m = \frac{20}{3} - 2 = \frac{20 - 6}{3} = \frac{14}{3}\) Vậy, m = 14/3 thì hệ có nghiệm không tầm thường.

Câu 38:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau vô số nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {{\rm{ }}7{\rm{ }} - {\rm{ }}m} \right){\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }}\\ 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}4y{\rm{ }} - {\rm{ }}5z{\rm{ }} = {\rm{ }}1\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }} + {\rm{ }}mz{\rm{ }} = {\rm{ }}3 \end{array} \right.\)

Lời giải: