Cho A ={1, 2, 3, 4, 5}. Quan hệ R được xác định: ∀a, b ∈ A, aRb ⇔ a + b = 2k (k=1,2,...). Xác định phân hoạch do R sinh ra.

Đầu tiên, ta tính f(2) = 3(2)² + 2(2) + 1 = 3(4) + 4 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17.

Tiếp theo, ta tính g(x) = 5x - 2, vậy g(f(2)) = g(17) = 5(17) - 2 = 85 - 2 = 83.

Vậy g.f(2) = 83.

Phân hoạch của một tập S là một tập hợp các tập con khác rỗng của S sao cho:

• Các tập con này đôi một không giao nhau.
• Hợp của tất cả các tập con này bằng S.

Như vậy, nếu A và B là một phân hoạch của S thì:

• A và B là các tập con khác rỗng của S.
• A giao B bằng rỗng (A ∩ B = ∅).
• A hợp B bằng S (A ∪ B = S).

A – B = A \ B = {x | x ∈ A và x ∉ B}. Vì A ∩ B = ∅ nên A – B = A.

A x B là tích Descartes của hai tập hợp A và B, là tập hợp tất cả các cặp có thứ tự (a, b) sao cho a ∈ A và b ∈ B. Do đó, A x B không thể bằng S.

Quan hệ R trên tập A được gọi là phản đối xứng nếu với mọi a, b ∈ A, nếu (a, b) ∈ R và (b, a) ∈ R thì a = b.

Xét từng đáp án:

• Đáp án A: R = {(5,5), (5,7), (5,8), (7,6), (7,7), (8,6), (8,7)}. Quan hệ này có (5,5) và (7,7) nhưng không có cặp (a,b) và (b,a) nào khác thỏa mãn a ≠ b. Vậy nó có tính phản đối xứng.
• Đáp án B: R = {(5,5), (5,6), (6,7), (7,6), (6,8), (7,7), (8,5), (8,6)}. Quan hệ này có (6,7) và (7,6) nhưng 6 ≠ 7, do đó nó không có tính phản đối xứng.
• Đáp án C: R = {(5,5), (5,6), (5,7), (7,5), (6,6), (6,7), (7,7), (8,8), (8,6)}. Quan hệ này có (5,7) và (7,5) nhưng 5 ≠ 7, do đó nó không có tính phản đối xứng.
• Đáp án D: R = {(5,5), (5,7), (7,5), (6,6), (6,8), (7,7), (8,8), (8,7)}. Quan hệ này có (5,7) và (7,5) nhưng 5 ≠ 7 và (8,7) nhưng 8 ≠ 7, do đó nó không có tính phản đối xứng.

Vậy, đáp án A là đáp án đúng.