Bình hình trụ tròn bán kính R, chiều cao H, chứa chất lỏng đến 1/2 chiều cao H. Vận tốc góc ω để chất lỏng chưa trào ra khỏi bình khi bình quay quanh trục đối xứng:
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Để giải bài toán này, ta cần xét đến hình dạng mặt thoáng của chất lỏng khi bình quay. Mặt thoáng của chất lỏng sẽ có dạng paraboloid tròn xoay. Điều kiện để chất lỏng không bị tràn ra khỏi bình là mép paraboloid phải nằm trong thành bình.
Gọi h là độ cao mực chất lỏng ban đầu, trong trường hợp này h = H/2.
Phương trình mặt thoáng của chất lỏng có dạng: z = (ω²r²) / (2g) + C, trong đó C là hằng số.
Ta chọn gốc tọa độ tại tâm đáy bình. Khi đó, tại r = 0, z = z_min = C. Để chất lỏng không tràn, độ cao lớn nhất của mặt thoáng (z_max) tại r = R phải nhỏ hơn hoặc bằng H.
Thể tích chất lỏng không đổi khi bình đứng yên và khi bình quay. Điều này có nghĩa là thể tích của khối paraboloid bằng thể tích ban đầu của chất lỏng:
πR²(H/2) = 2π ∫₀ᴿ z r dr = 2π ∫₀ᴿ ((ω²r²) / (2g) + z_min) r dr
Sau khi tính tích phân, ta có: H/2 = (ω²R²) / (4g) + z_min
Để chất lỏng không tràn, điểm thấp nhất của mặt thoáng (z_min) phải lớn hơn hoặc bằng 0. Điều này có nghĩa là z_min >= 0. Từ đó suy ra:
H/2 >= (ω²R²) / (4g) => ω² <= (2gH) / R² => ω <= √(2gH) / R
Vậy, đáp án đúng là A. ω ≤ √(2gH) / R