Có 5 phần tử cần chia thành 2 cụm, mỗi cụm có ít nhất 1 phần tử. Hỏi có bao nhiêu cách chia cụm:

Bài toán yêu cầu chia 5 phần tử thành 2 cụm, mỗi cụm có ít nhất 1 phần tử. Ta có thể giải bài toán này bằng cách liệt kê các trường hợp có thể xảy ra hoặc sử dụng công thức tổ hợp. Cách 1: Liệt kê các trường hợp * Cụm 1 có 1 phần tử, cụm 2 có 4 phần tử. * Cụm 1 có 2 phần tử, cụm 2 có 3 phần tử. * Cụm 1 có 3 phần tử, cụm 2 có 2 phần tử. * Cụm 1 có 4 phần tử, cụm 2 có 1 phần tử. Tuy nhiên, vì việc chia thành cụm không phân biệt thứ tự (ví dụ: cụm {1, 2} và cụm {3, 4, 5} cũng giống như cụm {3, 4, 5} và cụm {1, 2}), ta chỉ cần xét 2 trường hợp: * Cụm 1 có 1 phần tử, cụm 2 có 4 phần tử. * Cụm 1 có 2 phần tử, cụm 2 có 3 phần tử. Số cách chọn 1 phần tử từ 5 phần tử là C(5, 1) = 5. Số cách chọn 2 phần tử từ 5 phần tử là C(5, 2) = 10. Vậy tổng số cách chia là 5 + 10 = 15. Cách 2: Sử dụng công thức tổ hợp Tổng số tập con khác rỗng của một tập hợp có 5 phần tử là 2⁵ - 1 = 31. Ta loại trừ trường hợp chia thành 1 cụm duy nhất. Như vậy, có 31 cách chia thành các cụm khác rỗng. Mỗi cách chia thành 2 cụm được tính 2 lần (ví dụ, chia thành cụm A và B cũng giống như chia thành cụm B và A). Vì vậy, số cách chia thực tế là (31 - 1) / 2 (trừ trường hợp chia thành 1 cụm duy nhất rồi chia đôi) = 30/2 = 15. Đáp án đúng là 15 cách.