Một xe ô tô đang chạy với vận tốc \(72\) \(km/h\) thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó \(45\ m\). Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ \(v\left( t \right)=-12t+24\ \left( m/s \right)\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi \(s\left( t \right)\) là quảng đường xe ô tô đi được trong \(t\) (giây) kể từ lúc đạp phanh.

Tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 1,5 con trên \(100\text{ }000\) con nghĩa là \(P\left( X \right)={{15.10}^{-6}}\).

Khi con bò bị bệnh bò điên, thì xác suất để ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm là 60%, nghĩa là: \(P\left( Y|X \right)=0,6.\)

Khi con bò không bị bệnh, thì xác xuất để xả ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm đó là 20%, nghĩa là \(P\left( Y|\overline{X} \right)=0,2\).

Khi đó, ta có: \(P\left( Y\cap X \right)=P\left( Y|X \right).P\left( X \right)=0,6\,.\,15\,.\,{{10}^{-6}}={{9.10}^{-6}}.\)

a) Vectơ có tọa độ \(\left( 2\,;\,4\,;-2 \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P}_{1}} \right)\) nên mệnh đề đúng.

b) Thế tọa độ điểm  \(M\left( -2;1;1 \right)\) vào \(\left( {{P}_{2}} \right):-2x+y+z-4=0\) ta được: \(-2.\left( -2 \right)+1+1-4=0\Leftrightarrow 2=0\,\,\left( sai \right)\) nên \(M\notin \left( {{P}_{2}} \right)\).

Vậy mệnh đề sai.

c) \(\cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right)=\frac{1.\left( -2 \right)+2.1+\left( -1 \right)1}{\sqrt{6}\sqrt{6}}=-\frac{1}{6}\) mệnh đề đúng.

d) Góc hai mặt phẳng không thể tù nên mệnh đề sai.

Do AB // CD nên AB // (SCD). 

Suy ra:

\(d\left( AB,SD \right)=d\left( AB,\left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right)=2d\left( O,\left( SCD \right) \right)\).

Gọi M là trung điểm của CD.

Suy ra: \(OM\bot CD\), suy ra: \(CD\bot \left( SOM \right)\).

Trong \(\Delta SOM\), kẻ \(OH\bot SM\).

Suy ra: \(OH\bot \left( SCD \right)\). 

Suy ra: \(d\left( O,\left( SCD \right) \right)=OH\).

Ta có: \(AC=2\sqrt{2}\). Suy ra: \(OC=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}\).

\(SO=\sqrt{S{{C}^{2}}-O{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{6}\).

Ta có: \(\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{M}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}=\frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \sqrt{6} \right)}^{2}}}=\frac{7}{6}\)\(\Rightarrow OH=\frac{\sqrt{42}}{7}\).

Suy ra: \(d\left( AB,SD \right)=2d\left( O,\left( SCD \right) \right)=2OH=\frac{2\sqrt{42}}{7}\approx 1,9\).

Do đó, tổng số chi phí của đường đi nhận giá trị nhỏ nhất là 53.

Cả hai bên cầu có tất cả \(2.10=20\) nhịp cầu.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc \(O\left( 0;0 \right)\) là chân cầu, đỉnh \(I\left( 25;2 \right)\), điểm \(A\left( 50;0 \right)\).

Gọi Parabol phía trên có phương trình:

\(\left( {{P}_{1}} \right):{{y}_{1}}=a{{x}^{2}}+bx+c=a{{x}^{2}}+bx\)  (vì \(O\in \left( {{P}_{1}} \right)\)).

\(\Rightarrow {{y}_{2}}=a{{x}^{2}}+bx-\frac{1}{5}\) là phương trình parabol phía dưới.

(Vì bề dày nhịp cầu là \(20cm=\frac{1}{5}m\)).

Ta có \(I,A\in \left( {{P}_{1}} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & {{25}^{2}}a+25b=2 \\  & {{50}^{2}}a+50b=0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=-\frac{2}{625} \\  & b=\frac{4}{25} \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \left( {{P}_{1}} \right):{{y}_{1}}=-\frac{2}{625}{{x}^{2}}+\frac{4}{25}x\Rightarrow \left( {{P}_{2}} \right):\,\,\,{{y}_{2}}=-\frac{2}{625}{{x}^{2}}+\frac{4}{25}x-\frac{1}{5}\).

Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi \({{y}_{1}};{{y}_{2}}\) và trục Ox nên ta có:

\(S=2\left( \int\limits_{0}^{0,2}{\left( -\frac{2}{625}{{x}^{2}}+\frac{4}{25}x \right)dx+\int\limits_{0,2}^{25}{\frac{1}{5}dx}} \right)\approx 9,926{{m}^{2}}\).

Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là:

\(S.0,2\approx 1,985{{m}^{3}}.\)

Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là:

\(V=20.S.0,2\approx 40{{m}^{3}}\).