JavaScript is required

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), có 3 diễn viên xiếc nhào lộn đang ở 3 vị trí \(A\left( {1\,; - 2\,;\,3} \right)\), \(B\left( {3\,;\,4\,;\,1} \right)\), \(C\left( { - 5\,;\,2\,;\,1} \right)\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) một mặt phẳng lưới bảo hộ di động luôn chứa trục hoành sao cho \(A\), \(B\), \(C\) nằm cùng phía với \(\left( \alpha \right)\) \({d_1},\,{d_2},\,{d_3}\) lần lượt là khoảng cách từ \(A,\) \(B\), \(C\) đến \(\left( \alpha \right)\). Tiết mục xiếc sẽ được bắt đầu khi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) được điều chỉnh để biểu thức \(T = {d_1} + 2{d_2} + 3{d_3}\) đạt giá trị lớn nhất. Biết \(T\) lớn nhất bằng \(a\sqrt b \) (với \(a \in \mathbb{N}\), \(b\) là số nguyên tố). Hãy tính giá trị của biểu thức \(S = 2{\rm{a}} + 3b\).

Trả lời:

Đáp án đúng:


Gọi $\overrightarrow{n} = (0; m; n)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$.
Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng: $my + nz = 0$.
Khi đó, $d_1 = \frac{|-2m + 3n|}{\sqrt{m^2 + n^2}}$, $d_2 = \frac{|4m + n|}{\sqrt{m^2 + n^2}}$, $d_3 = \frac{|2m + n|}{\sqrt{m^2 + n^2}}$.
Do $A, B, C$ nằm cùng phía với $(\alpha)$ nên ta có thể giả sử $-2m + 3n > 0$, $4m + n > 0$, $2m + n > 0$.
$T = \frac{-2m + 3n + 2(4m + n) + 3(2m + n)}{\sqrt{m^2 + n^2}} = \frac{12m + 8n}{\sqrt{m^2 + n^2}}$.
$T = \frac{12\frac{m}{n} + 8}{\sqrt{(\frac{m}{n})^2 + 1}}$.
Đặt $t = \frac{m}{n} > -\frac{1}{4}$, ta có $T = \frac{12t + 8}{\sqrt{t^2 + 1}}$.
$T' = \frac{12\sqrt{t^2 + 1} - (12t + 8)\frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}}{t^2 + 1} = \frac{12(t^2 + 1) - 12t^2 - 8t}{(t^2 + 1)\sqrt{t^2 + 1}} = \frac{-8t + 12}{(t^2 + 1)\sqrt{t^2 + 1}}$.
$T' = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}$.
Khi đó $T_{max} = \frac{12(\frac{3}{2}) + 8}{\sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 1}} = \frac{26}{\sqrt{\frac{13}{4}}} = \frac{26}{\frac{\sqrt{13}}{2}} = 4\sqrt{13}$.
Suy ra $a = 4$ và $b = 13$.
Vậy $S = 2a + 3b = 2(4) + 3(13) = 8 + 39 = 47$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan